Lecture 09: Modular Arithmetic

MIT 6.1200J Mathematics for Computer Science, Spring 2024

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1. 模运算的直觉

模运算的核心思想：忽略 $n$ 的倍数，只关注余数。

场景	模数 $n$
奇偶性	2
星期几	7
数字末位	10
时钟（12小时）	12

Example. 现在是周二，100 天后是星期几？$100\mathrm{rem}7=2$，周二加 2 天 = 周四。

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2. 同余关系 (Congruence)

Definition. 称 $a$ 同余于 $b$ 模 $n$（a is congruent to b mod n），记作 $a{\equiv }_{n}b$，当且仅当 $n\mid (a-b)$。

等价刻画：

Theorem. $a{\equiv }_{n}b⟺(a\mathrm{rem}n)=(b\mathrm{rem}n)$。

Proof. 若余数相同均为 $r$，则 $a=nq+r$，$b=n{q}^{\prime }+r$，故 $a-b=n(q-q^{\prime })$，即 $n\mid (a-b)$。反之若 $n\mid (a-b)$，设 $b=qn+r$，则 $a=(k+q)n+r$，由带余除法唯一性知 $a\mathrm{rem}n=r$。$◼$

剩余类（residue classes / equivalence classes）： 模 $n$ 下恰好有 $n$ 个类 $[0],[1],\dots ,[n-1]$，每个整数属于其余数所在的类。

示例（模 5）：

[0] = { ..., -10, -5,  0,  5, 10, ... }
[1] = { ...,  -9, -4,  1,  6, 11, ... }
[2] = { ...,  -8, -3,  2,  7, 12, ... }
[3] = { ...,  -7, -2,  3,  8, 13, ... }
[4] = { ...,  -6, -1,  4,  9, 14, ... }

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3. 符号说明

写法	含义	类型
a rem n / a mod n	$a$ 除以 $n$ 的非负余数，值域 $[0,n)$	函数，单一确定值
$a{\equiv }_{n}b$ / $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$	$a$ 与 $b$ 模 $n$ 同余	关系，双方无需在 $[0,n)$ 内

注意： 不同编程语言对负数取模行为不同。本课始终使用非负余数定义（Python / Mathematica 约定）。例：$(-43)\mathrm{rem}10=7$，而非 $-3$。

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4. 模运算的代数性质

Theorem. 若 $a{\equiv }_{n}b$，则对任意 $c$：

1. $a+c{\equiv }_{n}b+c$
2. $ac{\equiv }_{n}bc$
3. $a-c{\equiv }_{n}b-c$
4. $c-a{\equiv }_{n}c-b$

Proof. 每条均由 $n\mid (a-b)$ 直接验证。例如第 2 条：$ac-bc=(a-b)c$，是 $a-b$ 的倍数，故 $n\mid (ac-bc)$。$◼$

Theorem. 若 $x{\equiv }_{n}y$，则对任意 $k\ge 1$，$x^k{\equiv }_n{y}^k$。

Proof（归纳）： Base case $k=1$ 即假设。归纳步骤：

$$x^k=x\cdot x^{k-1}{\equiv }_{n}y\cdot x^{k-1}{\equiv }_{n}y\cdot y^{k-1}=y^k◼$$

警告： 指数本身不能随意对 $n$ 取模。例：$1{\equiv }_{5}6$，但 $2^1=2{\not\equiv }_{5}64=2^6$。

Example. 求 $x={1133}^{511111}(6+77995000)$ 的最后两位（即 $x\mathrm{rem}100$）。

• 底数：$1133{\equiv }_{100}33$，进一步 ${35}^1{\equiv }_{100}35$，${35}^2{\equiv }_{100}25$，${35}^3{\equiv }_{100}75$，${35}^4{\equiv }_{100}25$，…（在 25 和 75 间交替），${35}^{11111}{\equiv }_{100}75$。
• 指数中：$99{\equiv }_{100}-1$，故 ${99}^{5000}{\equiv }_{100}(-1{)}^{5000}=1$，即括号内 ${\equiv }_{100}6+1=7$。
• 故 $x{\equiv }_{100}75\times 7=525{\equiv }_{100}25$。

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5. 模意义下的除法与逆元

5.1 乘法逆元 (Multiplicative Inverse)

Definition. $a$ 模 $n$ 的乘法逆元是满足 $ab{\equiv }_{n}1$ 的整数 $b$，记作 $a^{-1}$。

Theorem. $a$ 有模 $n$ 的逆元 $⟺$ $gcd(a,n)=1$（即 $a$ 与 $n$ 互质）。

Proof. $\mathrm{\exists }b:ab{\equiv }_{n}1⟺\mathrm{\exists }b,q:ab-nq=1⟺1$ 是 $a,n$ 的 ILC $⟺gcd(a,n)=1$。$◼$

Corollary. 若 $p$ 是质数且 $a{\not\equiv }_{p}0$，则 $a$ 有模 $p$ 的逆元。

求逆元的方法： 用 Pulverizer（扩展欧几里得算法）。

Example. $7$ 和 $13$ 是模 $30$ 的互逆（$7\times 13=91{\equiv }_{30}1$）。
解方程 $7x{\equiv }_{30}14$：两边乘以 $13$，得 $91x{\equiv }_{30}182$，即 $x{\equiv }_{30}2$。

5.2 注意：不能随便"约分"

若 $gcd(a,n)>1$，则 $a$ 无逆元，从 $ac{\equiv }_{n}bc$ 不能推出 $a{\equiv }_{n}b$。
例：$3\times 5{\equiv }_{6}3\times 1$，但 $5{\not\equiv }_{6}1$。

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6. Fermat 小定理 (Fermat's Little Theorem)

Theorem (FLT). 若 $p$ 为质数且 $a{\not\equiv }_{p}0$，则 $a^{p-1}{\equiv }_{p}1$。

Proof. 考虑集合 $\{a,2a,3a,\dots ,(p-1)a\}$ 模 $p$ 的余数：

• 无一为 $0$（因 $p\nmid a$，$p$ 是质数）；
• 无两个相同（若 $ia{\equiv }_{p}ja$，则因 $a$ 有逆元，$i{\equiv }_{p}j$，但 $1\le i,j\le p-1$ 无重复）。

故此集合模 $p$ 恰好是 $\{1,2,\dots ,p-1\}$ 的某个排列，两边取乘积：

$$(p-1)!\cdot a^{p-1}{\equiv }_p(p-1)!$$

因 $gcd((p-1)!,p)=1$，可约去 $(p-1)!$，得 $a^{p-1}{\equiv }_{p}1$。$◼$

推论： 模质数 $p$ 时，指数可以对 $p-1$ 取模（而非对 $p$）：

$$a^k{\equiv }_p{a}^{k\mathrm{rem}(p-1)}$$

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7. 应用

7.1 整除 9 的判断法

Theorem. $n$ 被 9 整除 $⟺$ $n$ 的各位数字之和被 9 整除。

Proof. 设 $n=\sum _i{d}_i\cdot {10}^i$。因 $10{\equiv }_{9}1$，故 ${10}^i{\equiv }_{9}1$，所以 $n{\equiv }_9\sum _i{d}_i$。$◼$

7.2 ISBN 校验码

ISBN-10：$(a_1,\dots ,a_{10})$，校验条件为

$$\sum _{i=1}^{10}i\cdot a_i{\equiv }_{11}0$$

• 模数 11 是质数，$gcd(10,11)=1$，故 $a_{10}$ 总有唯一解（由前 9 位确定）。
• 可证：单个数字出错或相邻两位互换，校验均失败。

7.3 奇偶校验 (Parity)

简单 RAID 思路：存 $b_1,b_2$，第三块存 $b_3=b_1\oplus b_2$（加法模 2）。任意一块损坏可从另两块恢复。

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8. 关键术语速查

英文	中文
Congruence $a{\equiv }_{n}b$	同余
Residue / Remainder	余数
Residue class / Equivalence class	剩余类 / 等价类
Modular arithmetic	模运算 / 模算术
Multiplicative inverse	乘法逆元
Coprime	互质
Fermat's Little Theorem (FLT)	Fermat 小定理
Parity	奇偶性
ISBN checksum	ISBN 校验码