Lecture 13：连通性与树

1. 游走、迹、路径

定义： 游走（Walk） 是顶点序列 $(v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k})$ ，满足对每个 $i$ 有 ${v_{i}, v_{i + 1}} \in E$ 。长度为 $k$ （边数）。可以重复经过顶点和边，无任何限制。

定义： 迹（Trail） 是不重复边的游走。

定义： 路径（Path） 是不重复顶点的迹。

定义： 若顶点 $a$ 到顶点 $b$ 存在游走，则称 $a$ 与 $b$ 连通。（每个顶点通过长度为 0 的空游走与自身连通。）

定义： 若图中每对顶点都连通，则称图 $G$ 为连通图。

定理： 若 $a$ 到 $b$ 存在游走，则 $a$ 到 $b$ 存在路径。

证明： 取 $a$ 到 $b$ 的最短游走。若某顶点 $v_{i} = v_{j}$ （ $i < j$ ），则可跳过中间部分，得到更短的游走——与最短性矛盾。故最短游走即为路径。

定义： 顶点 $v$ 的连通分量是由所有与 $v$ 连通的顶点导出的子图。

定理： 连通分量构成图 $G$ 的一个划分——每个顶点和每条边恰好属于一个连通分量。

证明思路： 若 $v$ 的连通分量与 $w$ 的连通分量有公共顶点，则两者完全相同。

定义：

术语警告： 不同资料中术语混用现象严重。"欧拉圈"不一定是圈，"欧拉路径"不一定是路径。

关键观察： 若图 $G$ 有欧拉回路，则：

哥尼斯堡图中所有顶点度数均为奇数，故不存在欧拉回路。

定理： 连通简单图存在欧拉回路，当且仅当所有顶点度数均为偶数。

证明：

$(\Rightarrow)$ ：沿欧拉回路行走时，每次经过顶点 $v$ 消耗一条入边和一条出边，故 $\deg (v)$ 为偶数。
$(\Leftarrow)$ ：取图中无重复边的最长游走 $W$ 。
- 断言 $W$ 是闭合的：若 $W$ 的两端点 $a \neq b$ ，则 $a$ 和 $b$ 有奇数条未使用的边，可继续延伸 $W$ ——与最长性矛盾。
- 断言 $W$ 覆盖所有边：若存在未使用边 ${u, v}$ ，由连通性可找到从 $W$ 上某点 $s$ 出发经过该未使用边的路径，从而延伸 $W$ ——与最长性矛盾。

推论： 连通图存在开放的欧拉迹（不闭合），当且仅当恰好有两个顶点度数为奇数（迹从这两个顶点之一出发，在另一个结束）。

定义： 树是连通的无环图。

定义： 无环图（不一定连通）称为森林，其每个连通分量都是一棵树。

定理（叶子的存在性）： 每棵有 $n \geq 2$ 个顶点的树，至少有 2 个度数为 1 的顶点，称为叶子（Leaf）。

证明： 取最长路径 $v_{0}, \dots, v_{k}$ 。其两个端点 $v_{0}, v_{k}$ 必须是叶子：

定理： 有 $n$ 个顶点的树恰好有 $n - 1$ 条边。

对 $n$ 作归纳的证明：

基础情形 $n = 2$ ：唯一的连通 2 顶点图有 1 条边。✓
归纳步骤： 设 $T$ 是有 $n + 1$ 个顶点的树。由叶子存在性定理， $T$ 有一个叶子 $v$ 。令 $T^{'} = T - v$ （删去 $v$ 及其唯一关联边）。
- $T^{'}$ 无环：删去顶点不会产生新环。
- $T^{'}$ 连通：对 $T^{'}$ 中任意两顶点 $u, w$ ，它们在 $T$ 中有路径，该路径不经过 $v$ （因为 $\deg (v) = 1$ ），故在 $T^{'}$ 中仍连通。
- 因此 $T^{'}$ 是有 $n$ 个顶点的树，由归纳假设有 $n - 1$ 条边。 $T$ 比 $T^{'}$ 多一条边（叶子边），故有 $n$ 条边。✓

关键： 必须删去叶子，而非任意顶点。删去非叶子顶点会破坏连通性，剩余图不再是树。

对有 $n$ 个顶点的图 $G$ ，以下条件等价：