Lec 2 反证法和归纳法

一、逻辑推导规则

Definition 推导规则（inference rule）是将若干真命题组合推出另一真命题的规则。

⊢ 为 推导符号 / 证明符号（turnstile）

常用推导规则：

名称	形式
肯定前件推理	$P⟹Q,;P;⊢;Q$
否定后件推理（通过否定结果来否定前提）	$P⟹Q,;\mathrm{\neg }Q;⊢;\mathrm{\neg }P$
传递性	$(P⟹Q)\wedge (Q⟹R);⊢;P⟹R$
反证规则	$(\mathrm{\neg }P⟹\text{false});⊢;P$

证明书写规范：

• 每步推导必须清晰，注明所用已有命题
• 避免恐吓式证明（"Obviously…"、"Clearly…"、”显然成立“）
• 基础数学事实可直接使用，无需逐条引公理

二、基本证明技术

2.1 存在性证明

证明 $\mathrm{\exists }x\in S.;P(x)$：直接构造一个满足条件的具体值。

Example. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},;n\ge 10\text{ and isPrime}(n)$。

Proof. 取 $n=17$，17 是质数且 $17\ge 10$。$◼$

2.2 普遍性证明

如果我们要对一个集合中的所有元素证明某个结论，就不能只靠一个例子。

证明 $\mathrm{\forall }x\in S.;P(x)$：引入任意元素 $x\in S$（不作任何额外假设），证明 $P(x)$。

Example. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},;x^2-6x>-10$。

Proof. 设 $x$ 为任意实数，则 $x^2-6x+9=(x-3{)}^2\ge 0$，故 $x^2-6x\ge -9>-10$。$◼$

2.3 证明蕴含式：直接法

证明 $P⟹Q$：假设 $P$ 为真，推导出 $Q$。

Example. 若 $n$ 是 10 的倍数，则 $n$ 是 2 的倍数。

Proof. 设 $n=10k$，则 $n=2(5k)$，故 $n$ 是 2 的倍数。$◼$

2.4 证明蕴含式：逆否证明法

证明 $P⟹Q$ 等价于证明 $\mathrm{\neg }Q⟹\mathrm{\neg }P$。

Example. 若 $n^2$ 为偶数，则 $n$ 为偶数。

Proof. 证明逆否：若 $n$ 为奇数，则 $n^2$ 为奇数。设 $n=2k+1$，则

$$n^2=(2k+1{)}^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$$

为奇数。$◼$

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三、反证法

证明 $P$：假设 $\mathrm{\neg }P$，从 $\mathrm{\neg }P$ 推出矛盾（contradiction）$\mathrm{\perp }$，则 $P$ 成立。

本质上是推导规则 $(\mathrm{\neg }P⟹\text{false})⊢P$ 的应用，又称间接证明（indirect proof）。

Example. $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$。

Proof by contradiction. 假设 $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$，写成最简分数 $\sqrt{2}=a/b$（$gcd(a,b)=1$）。

$$a^2=2b^2⟹a^2\text{ 为偶数}⟹a\text{ 为偶数}$$

设 $a=2c$，代入得 $4c^2=2b^2⟹b^2=2c^2⟹b$ 为偶数。

$a,b$ 均为偶数，与 $gcd(a,b)=1$ 矛盾。$\Rightarrow \Leftarrow$ $◼$

四、证明大纲

思路： 在真正动手推导之前，先根据命题的逻辑形式机械地拆解证明目标。

Example. 定理：$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},;F(n)⟺B(n+1)$。

Proof Outline:
  取任意整数 n；需证 F(n) iff B(n+1)。
  
  方向一：假设 F(n) 为真，[TODO: 证明 B(n+1)]
  方向二：假设 B(n+1) 为真，[TODO: 证明 F(n)]

只要命题形式明确，无需了解 $F,B$ 的含义就能写出大纲。

五、数学归纳法

公理 数学归纳法（Proof）

设 $P(n)$ 为关于 $n\in \mathbb{N}$ 的谓词。若

1. $P(0)$ 为真（base case）；
2. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},;P(n)⟹P(n+1)$（inductive step）；

则 $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},;P(n)$。

归纳步骤中，"假设 $P(n)$ 为真"称为归纳假设（induction hypothesis, IH）。

5.1 标准示例

Example. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},;1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$。

Proof by induction.

Base case ($n=0$)：LHS $=0$，RHS $=0$。✓

Inductive step： 设 $P(n)$ 成立（IH），则

$$\sum _{i=0}^{n+1}i=\underset{=n(n+1)/2\text{ by IH}}{\underbrace{\sum _{i=0}^{n}i}}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

即 $P(n+1)$ 成立。由归纳原理，$P(n)$ 对所有 $n\in \mathbb{N}$ 成立。$◼$​

5.2 强化归纳假设

有时原命题直接作为 IH 无法推进，需要加强（strengthen）。

Insight. 更强的归纳假设 $\Rightarrow$ 归纳步骤的起点更强，反而更容易证明。

Example. $2^n\times 2^n$ 棋盘（去掉任意一格）可用 L 形三格骨牌（L-tromino）无重叠覆盖。

• 弱 IH $P(n)$："可覆盖 $2^n\times 2^n$ 棋盘，去掉中心附近某格"——归纳步骤无从推进。
• 强 IH $Q(n)$："可覆盖 $2^n\times 2^n$ 棋盘，去掉任意一格"。

Proof of $Q(n)$ by induction.

Base case ($n=0$)：只有 1 格，去掉后无需覆盖。✓

Inductive step： 设 $Q(n)$ 成立。对 $2^{n+1}\times 2^{n+1}$ 棋盘，设去掉格子 $(i,j)$ 在左上象限。在棋盘正中放一块 L 骨牌，覆盖其余三象限各一格；再对四个 $2^n\times 2^n$ 子棋盘分别应用 $Q(n)$，各去掉一格（左上去 $(i,j)$，其余去已被骨牌覆盖的格）。$◼$

结论： $Q(n)⟹P(n)$，故 $P(n)$ 对所有 $n$​ 成立。

关键在于找到合适的 IH，这是一个技巧性很强的过程

六、关键术语速查

英文	中文
Inference rule	推导规则
Modus Ponens / Tollens	假言推论 / 拒取式
Proof by contradiction	反证法
Indirect proof	间接证明
Mathematical induction	数学归纳法
Base case	基础步骤
Inductive step	归纳步骤
Induction hypothesis (IH)	归纳假设
Strengthen the IH	强化归纳假设