Lec 6 渐进分析

一、引例：Goomy 叠叠乐

问题： $n$ 块宽度为 1 的矩形叠放，每块可相对下一块错开，设 $d_i$ 为第 $i$​ 块右边缘相对第 0 块右边缘的偏移。能否让顶层 Goomy 悬出桌边超过 1 个单位？

约束（重心不超出支撑范围）： 前 $k$ 块的集体重心不得超出第 $k$ 块右边缘，即

$$d_k=\frac{1}{2}+\frac{1}{k}\sum _{i=0}^{k-1}{d}_i\text{（贪心策略：恰好到极限）}$$

用扰动法化简递推：相邻两式相减得

$$d_k=d_{k-1}+\frac{1}{2k}$$

展开得

$$d_n=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})=\frac{1}{2}{H}_n$$

由于调和级数发散，$d_n\to \mathrm{\infty }$，理论上可悬出任意远。实际上仅需 4 块（$H_4>2$）即可悬出 1 个单位。

二、调和数

Definition. 第 $n$ 个调和数（harmonic number）为 $H_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{i}}$。

用积分界（递减函数）估计 $H_n$：

$$\frac{1}{n}+\ln n\le H_n\le 1+\ln n$$

两侧差值不超过 1，故 $H_n\sim \ln n$（见第 3 节）。

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三、渐近符号 (Asymptotic Notation)

3.1 Tilde 符号 $\sim$

Definition. $f\sim g$ 当且仅当 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=1}$。

含义：$f$ 和 $g$ 在极限意义下"精确相等"（比值趋于 1）。

Example. $H_n\sim \ln n$，$n!\sim {\left({\displaystyle \frac{n}{e}}\right)}^n\sqrt{2\pi n}$（Stirling 公式）。

3.2 Big-O（上界）

Definition. $f\in O(g)$ 当且仅当 $\mathrm{\exists }c\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }M\in {\mathbb{Z}}^{+},\mathrm{\forall }x>M:|f(x)|\le c\cdot g(x)$。

含义： $f$ 渐近上界为 $g$（忽略常数倍和有限例外），对应"$\le$"。

Theorem. 若 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|f(x)|}{g(x)}\in \mathbb{R}}$，则 $f\in O(g)$。（极限存在 $\Rightarrow$ Big-O；反之不一定。）

等价形式（离散域）： $f\in O(g)⟺\mathrm{\exists }{c}^{\prime }.\mathrm{\forall }x.|f(x)|\le c^{\prime }\cdot g(x)$。

Examples：

$f$	$g$	$f\in O(g)$?	理由
$x$	$x^2$	✓	极限为 0
$3\sin x$	$1$	✓	取 $c=3$，$M=0$
$x^2$	$x$	✗	对任意 $c,M$，取 $x>max(c,M)$ 即违反
多项式	$2^x$	✓	极限为 0
$4^x$	$2^x$	✗	比值 $\to \mathrm{\infty }$

3.3 Little-o（严格上界）

Definition. $f\in o(g)$ 当且仅当 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0}$。

含义： $f$ 比 $g$ 渐近"严格小"，对应"$<$"。
关系： $f\in o(g)⟹f\in O(g)$（小 $o$ 蕴含大 $O$）。

3.4 Big-Ω（下界）

Definition. $f\in \mathrm{\Omega }(g)$ 当且仅当 $g\in O(f)$。

含义： $f$ 渐近下界为 $g$，对应"$\ge$"。

Theorem. 若 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|f(x)|}{g(x)}\in (0,\mathrm{\infty }]}$，则 $f\in \mathrm{\Omega }(g)$。

Theorem. $f\in o(g)⟹f\notin \mathrm{\Omega }(g)$。

3.5 Little-ω（严格下界）

Definition. $f\in \omega (g)$ 当且仅当 $g\in o(f)$，即 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\mathrm{\infty }}$。

含义： $f$ 比 $g$ 渐近"严格大"，对应"$>$"。

3.6 Theta（紧确界）

Definition. $f\in \mathrm{\Theta }(g)$ 当且仅当 $f\in O(g)$ 且 $f\in \mathrm{\Omega }(g)$。

含义： $f$ 和 $g$ 渐近等价（相差常数倍），对应"$=$"。

Theorem. 若 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}\in {\mathbb{R}}^{+}}$，则 $f\in \mathrm{\Theta }(g)$。

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四、各符号汇总

符号	定义	极限条件	直觉对应
$f\sim g$	—	$limf/g=1$	$=$
$f\in O(g)$	$\exists c,M.;\forall x>M.;	f	\leq cg$
$f\in o(g)$	—	$limf/g=0$	$<$
$f\in \mathrm{\Omega }(g)$	$g\in O(f)$	$\lim	f
$f\in \omega (g)$	$g\in o(f)$	$limf/g=\mathrm{\infty }$	$>$
$f\in \mathrm{\Theta }(g)$	$f\in O(g)$ 且 $f\in \mathrm{\Omega }(g)$	$limf/g\in {\mathbb{R}}^{+}$	$=$

注意： 极限条件是充分条件（红色警示），不是等价定义（黑色是定义）。

五、常见误用警告

• 绝对禁止写 $f=O(g)$：$O(g)$ 是函数的集合，不是单个值，会导致"$f=O(g)$ 且 $h=O(g)$，故 $f=h$"等谬误。应写 $f\in O(g)$ 或 $f\le O(g)$。
• $f\ge O(g)$ 毫无意义（因为 0 函数 $\in O(g)$）。
• 注意 $\mathrm{\Omega },\omega$ 在 CS 和数论中定义不同，本课使用 CS 定义（更强）。

六、Stirling 公式

$$n!\sim {\left(\frac{n}{e}\right)}^n\sqrt{2\pi n}$$

更精确形式：$n!={\left({\displaystyle \frac{n}{e}}\right)}^n\sqrt{2\pi n}\cdot e^{ϵ(n)}$，其中 ${\displaystyle \frac{1}{12n+1}}\le ϵ(n)\le {\displaystyle \frac{1}{12n}}$，乘法误差 $<1+{\displaystyle \frac{1}{144n^2}}$。

推导：$\ln (n!)={\displaystyle \sum _{i=1}^n\ln i}$，对递增函数 $f(x)=\ln x$ 应用积分界：

$$n\ln n-n+1\le \ln (n!)\le (n+1)\ln n-n+1$$

即 $n^n/e^{n-1}\le n!\le n^{n+1}/e^{n-1}$，误差在 $n$ 倍以内。

七、关键术语速查

英文	中文
Harmonic number $H_n$	调和数
Asymptotic notation	渐近符号
Tilde $\sim$	Tilde 符号（渐近相等）
Big-O $O$	大 O 符号（渐近上界）
Little-o $o$	小 o 符号（严格渐近上界）
Big-Omega $\mathrm{\Omega }$	大 Omega（渐近下界）
Little-omega $\omega$	小 omega（严格渐近下界）
Theta $\mathrm{\Theta }$	Theta（紧确界）
Stirling's formula	Stirling 公式
Closed form	闭合公式