Lec 3 分类讨论和强归纳法

一、证明技术汇总（截至本讲）

技术	目标形式	方法
存在性（构造）	$\mathrm{\exists }x.P(x)$	给出具体的 $x^{\ast }$，验证 $P(x^{\ast })$
普遍性（实例化）	$\mathrm{\forall }x.P(x)$	取任意 $x$，证明 $P(x)$
直接证明	$P⟹Q$	假设 $P$，推出 $Q$
逆否证明	$P⟹Q$	假设 $\mathrm{\neg }Q$，推出 $\mathrm{\neg }P$
反证法	$P$	假设 $\mathrm{\neg }P$，推出矛盾
归纳法	$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.P(n)$	证 $P(0)$ 及 $P(n)⟹P(n+1)$

二、 分情形证明 (Proof by Cases)

核心逻辑： 对任意命题 $C$，$C\vee \mathrm{\neg }C$ 为恒真式（tautology）。
因此，欲证 $P$，只需证：

1. $C⟹P$
2. $\mathrm{\neg }C⟹P$

两个情形覆盖所有可能，故 $P$ 成立。

模板：

Proof. By cases on C:
  Case 1: Assume C. Then P because ...
  Case 2: Assume ¬C. Then P because ...
Since C ∨ ¬C is a tautology, P holds. □

2.1 示例：恒真式

Example. $(A⟹B)\vee (B⟹C)$ 是恒真式。

Proof. 按 $B$ 的真值分情形：

• Case 1（$B$ 为真）：$A⟹B$ 为真，故析取式为真。
• Case 2（$B$ 为假）：$B⟹C$ 为真，故析取式为真。

两种情形穷尽所有可能，命题成立。$◼$

2.2 示例：Ramsey 理论

Example. 6 人中，必有 3 人互为朋友，或 3 人互为陌生人（Ramsey Theory）。

Proof. 取任意一人 $p$，其余 5 人每人与 $p$ 要么是朋友要么是陌生人。

• Case 1（$p$ 至少有 3 个朋友）：取其中 3 个朋友 $q,r,s$。
  • Case 1a：$q,r,s$ 中某两人是朋友 $\Rightarrow$ 这两人与 $p$ 构成 3 个互友。
  • Case 1b：$q,r,s$ 互为陌生人 $\Rightarrow$ 3 个互陌生人已存在。
• Case 2（$p$ 至多有 2 个朋友，即至少有 3 个陌生人）：将 Case 1 中"朋友"与"陌生人"互换，完全对称，同理成立。

$◼$

Ramsey 数 $R(f,s)$：保证存在 $f$ 个互友或 $s$ 个互陌生人所需的最少人数。
已知：$R(3,3)=6$，$R(4,4)=18$，$43\le R(5,5)\le 48$（精确值未知）。

三、分情形证明，更通用的例子

取任意恒真式 $C_1\vee C_2\vee \cdots \vee C_k$，

模板： 命题 P(k) 为真

Proof: Proof by cases:

• case 1: 假设 $C_1$ 为真， 那么 P(1) 是 真 因为....
• case 2: 假设 $C_2$​ 为真， 那么 P(2) 是 真 因为....
• ....
• case k: 假设 $C_k$ 为真， 那么 P(k) 是 真 因为....

对每个情形 $C_i$ 分别证明 $P$，则 $P$​ 成立。这些 k 种情况是“穷尽的”（exhaustive）

著名的 多情形的例子：

经典案例 四色定理（*Four Color Theorem） ：任意地图的区域可用 4 种颜色染色，使相邻区域颜色不同。

历史（非常曲折）

• 1852：Guthrie 在观察英国地图时猜想四色足够（1853提出） • 1853：Kempe “证明”了该定理 • 1864：Heawood 发现了错误 😦 • 1880：Tait 再次“证明”该定理 • 1891：Petersen 发现错误 😦 • 1891：Schmidt 再次发现错误 😦 • 1976：Appel 和 Haken “证明”该定理  该证明包含 1834 种情况，由计算机逐一验证，总共约 400 页打印  据说 Haken 的女儿 Blostein 还帮忙逐个手动检查 • 1989：Appel 和 Haken 修复错误并出版完整证明（未经过传统同行评审） 😃? • 1996：Robertson、Sanders、Seymour、Thomas 提出更简洁的计算机证明 😃（633 个情况） • 2005：Werner 和 Gonthier 在 Coq 中形式化证明 → 更可靠的计算机验证 😃😃

数学家 Martin Gardner 曾在愚人节开玩笑说：某张地图需要 5 种颜色， 链接： https://mathworld.wolfram.com/McGregorMap.html

四、强归纳法

Theorem (Strong Induction). 设 $P(n)$ 为关于 $n\in \mathbb{N}$ 的谓词。若

1. $P(0)$ 为真；
2. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},[P(0)\wedge P(1)\wedge \cdots \wedge P(n)]⟹P(n+1)$；

则 $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},P(n)$。

与普通归纳法的关系：

• 普通归纳步骤假设 $P(n)$；强归纳步骤可假设 $P(0),P(1),\dots ,P(n)$ 全部成立。
• 二者等价——能用普通归纳证明的，强归纳也能证；反之亦然。
• 强归纳只是给了更强的出发点，实际上没有"多出"什么证明力。

五、强归纳应用示例

5.1 分块游戏

规则： 从 $n$ 块积木开始，每步将一堆分成两小堆 $m_1,m_2$，得 $m_1\times m_2$ 分；直到所有堆均为 1 块。求总分。

Theorem. 任意策略，从 $n$ 块积木出发，总得分恰为

$$\frac{n(n-1)}{2}=\sum _{i=1}^{n-1}i$$

Proof by strong induction on $n$.

Base case ($n=1$)：游戏立即结束，得 $0=1\times 0/2$ 分。✓

Inductive step： 假设对所有 $1\le m\le n$，命题成立（IH）。
对 $n+1$ 块，第一步分为 $m_1,m_2$（$m_1+m_2=n+1$，$1\le m_1,m_2\le n$）。由 IH：

$$F(n+1)=m_1{m}_2+\frac{m_1(m_1-1)}{2}+\frac{m_2(m_2-1)}{2}$$

化简（利用 $m_1+m_2=n+1$）：

$$=\frac{2m_1{m}_2+m_1^2-m_1+m_2^2-m_2}{2}=\frac{(m_1+m_2{)}^2-(m_1+m_2)}{2}=\frac{(n+1)n}{2}$$

$◼$

5.2 循环赛排名

问题： $n$ 人循环赛，每场决出胜负（无平局），是否总存在"胜负排列"$p_1,p_2,\dots ,p_n$ 使得 $p_i$ 胜 $p_{i+1}$？

Claim. 任意循环赛结果，胜负排列（beats ordering）总存在。

Proof by strong induction on $n$.

Base case ($n=0$)：空列表即为胜负排列。✓

Inductive step： 设对所有 $m\le n$ 命题成立（IH）。
对 $n+1$ 人，任取一人 $p^{\prime }$：

• $W$：胜过 $p^{\prime }$ 的人的集合（$|W|\le n$）
• $L$：负于 $p^{\prime }$ 的人的集合（$|L|\le n$）

由 IH，$W$ 和 $L$ 内部各自存在胜负排列 $p_1,\dots ,p_{|W|}$ 和 $q_1,\dots ,q_{|L|}$。

构造排列：$p_1,\dots ,p_{|W|},p^{\prime },q_1,\dots ,q_{|L|}$。

• $p_{|W|}$ 胜 $p^{\prime }$（$p_{|W|}\in W$）；
• $p^{\prime }$ 胜 $q_1$（$q_1\in L$）；
• 其余相邻关系由各子排列保证。

故此排列是合法的胜负排列。$◼$

六、 关键术语速查

英文	中文
Proof by cases / exhaustion	分情形证明 / 穷举证明
Tautology	恒真式
Ramsey Theory	Ramsey 理论
Four Color Theorem	四色定理
Strong induction	强归纳法
Induction hypothesis (IH)	归纳假设
Beats ordering	胜负排列
Round robin tournament	循环赛