Lecture 12：匹配

1. 匹配的基本定义

定义： 图 $G$ 中的一个匹配 $M$ 是 $G$ 的一个子图，其中每个顶点的度数均为 1——即一组两两不共享端点的边的集合。

定义： 极大匹配是不能再加入任何边的匹配（加入任何未选边都会产生冲突）。

定义： 最大匹配是边数最多的匹配。

极大匹配 ≠ 最大匹配。极大匹配不一定是边数最多的。

定义： 若匹配包含 $|V|/2$ 条边（每个顶点都被匹配），则称为完美匹配。

应用场景： 婚恋配对、任务分配到服务器、航班机组排班等。

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2. 加权匹配

定义： 加权图是 $(G,w)$，其中 $w:E\to \mathbb{R}$。权重越小代表越理想；非边通常视为权重 $\mathrm{\infty }$。

定义： 匹配 $M$ 的权重：$w(M)=\sum _{e\in M}w(e)$。

最小权重匹配问题： 在加权图中找一个权重最小的完美匹配。

最大匹配和最小权重匹配都有高效的多项式时间算法（超出本课程范围）。

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3. 稳定匹配问题

设置： 二部图，左侧 $N$ 个申请方（Applicants），右侧 $N$ 个评估方（Evaluators）。每一方对另一方有完整的严格偏好排序。偏好无需对称。

定义： 匹配 $M$ 中的一对私奔情侣（Rogue Couple） $(a,e)$：他们在 $M$ 中未被配对，但双方都更偏好彼此胜过各自当前的配对对象。

定义： 若匹配中不存在私奔情侣，则称该匹配为稳定匹配。

目标： 找到一个完美稳定匹配。

非二部图情形： 若图不是二部图（任意两人可配对），稳定匹配可能不存在（三元环的例子可证明）。

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4. Gale-Shapley 算法

由 David Gale 和 Lloyd Shapley 于 1962 年提出，Alvin Roth 于 1980 年代推广应用。2012 年获诺贝尔经济学奖。

又称：稳定匹配算法、延迟接受算法、求婚-拒绝算法。

算法流程（按"天"迭代执行）：

1. 每个申请方 $a$ 向其偏好列表中尚未拒绝过自己的评估方中排名最高的那位求婚。
2. 每个收到多份求婚的评估方，保留其中最偏好的那位（暂时持有），拒绝其余所有人。
3. 被拒绝的申请方将该评估方从偏好列表中划掉。
4. 若没有任何偏好列表发生变化（即无人被拒绝），则将每位评估方与其当前持有的申请方正式配对，算法终止。

正确性证明

定理： G-S 算法在第 $N^2+1$ 天之前必然终止。

证明： 令 $f(s)$ = 所有申请方偏好列表中剩余评估方的总数。$f$ 从 $N^2$ 开始，是正整数，且每天严格递减。故至多经过 $N^2$ 次转移。

引理 1： 每位评估方持有的申请方随时间只会变好，不会变差。

证明： 若今天 $a$ 是 $e$ 最偏好的，则 $a$ 明天仍在 $e$ 的候选中（或已被正式配对），故 $e$ 明天持有的申请方至少和 $a$ 一样好。

引理 2： 每位申请方当前对应的评估方随时间只会变差，不会变好。

证明： 每次被拒绝，申请方转向偏好列表中排名更低的评估方。

定理： G-S 算法将每个人都配对。

反证法： 若某申请方 $a$ 未被配对，则 $a$ 被所有评估方拒绝过。由引理 1，每位评估方最终都有配对对象，则 $N$ 位评估方全部配对，从而 $N$ 位申请方也全部配对——矛盾。

定理： G-S 算法不产生私奔情侣。

反证法： 设 $(a,e)$ 是私奔情侣，即双方更偏好彼此但未被配对在一起。

• 若 $e$ 曾拒绝过 $a$：由引理 1，$e$ 最终的配对对象比 $a$ 更好，故 $e$ 并不更偏好 $a$，矛盾。
• 若 $e$ 从未拒绝过 $a$：则 $a$ 从未向 $e$ 求婚（否则就被拒绝了），说明 $a$ 最终配对的评估方排名比 $e$ 更高，故 $a$ 并不更偏好 $e$，矛盾。

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5. 公平性：申请方最优

定义： 若存在某个稳定匹配将 $x$ 与 $y$ 配对，则称 $y$ 是 $x$ 的一个可行配对。

定义： $x$ 的最优配对是所有可行配对中 $x$ 最偏好的那个。

定义： $x$ 的最劣配对是所有可行配对中 $x$ 最不偏好的那个。

定理： G-S 算法将每位申请方配对到其最优可行对象。

定理： G-S 算法将每位评估方配对到其最劣可行对象。

在申请方主动求婚的 G-S 算法中，申请方掌握所有主动权。评估方只能被动接受，结果是所有稳定匹配中对其最不利的那个。若改为评估方主动求婚，则结果互换。