Lecture 11：图与着色

1. 简单图

定义： 一个（简单）图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是非空的顶点（节点）集合，$E$ 是 $V$ 的二元子集构成的集合，称为边集合。

• 边是无序对 $\{u,v\}$，也可写作 $u-v$ 或 $uv$。
• 我们的定义不允许重边和自环。
• $V=\mathrm{\varnothing }$ 不允许；没有边的图是允许的。

邻接关系

• 若 $\{u,v\}\in E$，则 $u$ 与 $v$ 相邻。
• 边 $\{u,v\}$ 关联其端点 $u$ 和 $v$。

现实应用举例

• 社交网络（Facebook 好友图）、考试排期冲突、神经网络、互联网。
• Twitter 关注图是有向图（不对称），后续课程覆盖。
• "六度分隔"理论：任意两人之间存在长度 $\le 6$ 的路径。

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2. 顶点度数

定义： $\mathrm{deg}(v)$ = 与 $v$ 关联的边的数量。

握手引理（Handshake Lemma）：

$$\sum _{v\in V}\mathrm{deg}(v)=2|E|$$

证明： 左侧对每条边计数两次（每条边恰好有两个端点）。

推论：

• 度数序列 $(2,2,2,2,2,1)$ 不可能存在——总和为奇数，无法等于 $2|E|$。
• $n$ 个顶点的图最多有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ 条边，由完全图 $K_n$ 取到。

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3. 二部图

定义： 若 $V$ 可以划分为两个不相交的子集 $L$ 和 $R$，使得每条边恰好有一个端点在 $L$、一个端点在 $R$，则称 $G$ 为二部图。

二部图握手引理：

$$\sum _{l\in L}\mathrm{deg}(l)=|E|=\sum _{r\in R}\mathrm{deg}(r)$$

平均度数之比：

$$\frac{A_L}{A_R}=\frac{|R|}{|L|}$$

例：哈佛 / MIT 友谊图。 MIT 约有 4600 名本科生，哈佛约有 7200 名。平均每位 MIT 学生拥有的哈佛朋友数，约是平均每位哈佛学生拥有的 MIT 朋友数的 $7200/4600\approx 1.6$ 倍。这个结论仅由双方人数之比决定，与具体友谊分布无关。

例：异性伴侣数调查。 多项研究声称男性的异性伴侣数是女性的 1.74 倍乃至 3.33 倍，这在数学上不可能。将男女配对关系建模为二部图，两侧总度数必然相等，真实比值约为 $|W|/|M|\approx 1.03$（2010 年人口普查数据）。研究中的偏差来自数据本身，而非行为差异。

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4. 图着色

动机： 考试排期——若两门课有共同选课学生，则它们冲突，不能安排在同一时间段。

定义： 图 $G$ 的一个正常 $k$ 着色是函数 $f:V\to C$，满足 $|C|\le k$，且对每条边 $\{u,v\}$ 有 $f(u)\ne f(v)$。

定义： $G$ 的色数 $\chi (G)$ 是使 $G$ 存在正常 $k$ 着色的最小 $k$。

证明 $\chi (G)=k$ 需要同时给出：

• 上界：给出一个合法的 $k$ 着色方案。
• 下界：证明不存在 $(k-1)$ 着色（通常用反证法或找团）。

应用： 地图着色（四色定理）、寄存器分配、无线电频率分配、调度问题。

NP 完全性： 计算 $\chi (G)$ 是 NP 完全问题。即使只判断 $\chi (G)\stackrel{?}{=}3$ 也是 NP 完全的。验证一个着色方案是否合法很容易，但找到最优方案目前没有已知的高效算法。

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5. 贪心着色算法

1. 对顶点排序：v1, v2, ..., vn
2. 对颜色排序：c1, c2, ...
3. 按顺序处理每个顶点，为其分配编号最小的合法颜色

• 不同的顶点排序可能产生不同数量的颜色。
• 这是一个贪心算法：逐步决策，从不回头。

定理： 若图中每个顶点的度数 $\le d$，则对任意顶点排序，贪心算法使用的颜色数 $\le d+1$。

证明（对 $|V|$ 作归纳）：

• 归纳假设 $P(n)$：对所有 $d$ 和所有 $n$ 顶点、最大度数为 $d$ 的图，贪心算法对任意排序使用颜色数 $\le d+1$。
• 基础情形 $n=1$：图无边，$d=0$，使用 1 种颜色。✓
• 归纳步骤： 设 $G$ 是 $n+1$ 顶点、最大度数为 $d$ 的图。贪心对 $v_1,\dots ,v_n$ 着色时，完全不考虑 $v_{n+1}$，等价于对 $n$ 顶点子图着色。由归纳假设，最多使用 $d+1$ 种颜色。最后处理 $v_{n+1}$：它至多有 $d$ 个邻居，占用至多 $d$ 种颜色，因此 $d+1$ 种颜色中至少有一种可用。✓

警示——"构建错误"（Buildup Error）： 归纳假设是"对所有 $n$ 顶点图成立"，归纳步骤必须从任意一个 $n+1$ 顶点图出发，而不是从一个 $n$ 顶点图出发再添加顶点。后者是常见错误。

算法的好坏分析：

• $K_n$：最大度数 $n-1$，$\chi (K_n)=n$，上界紧。
• 星图 $S_k$：最大度数 $k$，但 $\chi =2$，上界很宽松。
• 王冠图 $H_{k,k}$：$\chi =2$，最大度数 $k$，但存在一种排序让贪心使用 $k$ 种颜色——算法在最坏情况下表现很差。