Lec 1 证明

一、证明

Definition 什么是证明（Proof）

一种确认事实的方法。

• 实验 / 观察（物理）
• 采样（统计）
• 法律（法官 / 陪审团）
• 民意（公众意见）
• 商业（权威人士）
• 内心确信
• “为什么不呢？”

在数学领域呢 ？

Definition 1 数学证明（mathematical Proof）是从一组公理（axioms）出发，通过逻辑推导链验证某命题为真的过程

证明由三个核心要素构成：命题（要证什么）、公理（从哪里出发）、逻辑推导（怎么走）。

二、命题与谓词

Definition 2 命题（proposition）是一个非真即假的陈述。

Definition 3 谓词（predicate）是真值依赖于变量的命题。

示例：

• 命题1： $2+3=5$（True）
• 命题2： $2+3=6$（False）
• 命题3：$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},;n^2+n+41\text{ is prime}$（False，$n=41$ 时 $=43\times 41$）

非命题示例： "Hello."、"Who are you?"、"This statement is false."（自指悖论，不处理）

教训： 即便前 40 个例子全部验证为真，也不能称为"证明"——这叫 用例子证明（Proof by Example），数学中是无效的证明。

• 命题 4（哥德巴赫猜想，Goldbach’s Conjecture）：每一个大于 2 的偶数，都可以表示为两个素数之和。
  • 真还是假？未知！
  • 对于所有已经被检验过的偶数，这个命题都成立……目前普遍认为它是成立的（但没有证明）
  • 它看起来非常困难，在 90 年代中期甚至被《波士顿环球报》作为“重大未解之谜”刊登在头版之一

命题分类：

术语	含义
Theorem	重要的已证真命题
Lemma	辅助性已证命题
Corollary	由定理直接推出的命题
Conjecture	尚未证明或证伪的猜想

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三、 联接谓词

构造新的命题时，我们可以通过组合已有命题来实现。例如

基本运算符（$P$、$Q$ 为命题）：

符号	名称	真值规则
$\mathrm{\neg }P$	Negation	$P$ 为假时为真
$P\wedge Q$	Conjunction（AND）	二者均真时为真
$P\vee Q$	Disjunction（OR，inclusive）	至少一者为真时为真
$P⟹Q$	Implication	$P$ 真且 $Q$ 假时为假
$P⟺Q$	Biconditional（iff）	二者真值相同时为真（等价）

然而在日常语言中……

Example1 婚礼菜单
服务员说：“晚餐有 chicken or pasta。”
这里的 “or” 表示一组可选答案集合：你可以选 “鸡肉” 或 “意大利面”，但不能选“两者”或“都不选”。因为他们已经提前收集了 RSVP（法语， Répondez s’il vous plaît的缩写，意思是请回复）。
这不是我们定义的 or，而是“异或”（exclusive or，xor）。A ⊕ B 为真，当且仅当 A 和 B 中“恰好有一个”为真

Example2 饮品选择
服务员说：“你可以喝 coffee or tea。”
这一次，你可以选择： “只咖啡” 或 “只茶” 或者“都不选”。但不能两者都要，因为你只有一个杯子，而且在正式场合不会把两种混在一起。
这也不是 or，而更像是“不是 and”。 “只要不是‘两者都要’，就都可以”

Example3 咖啡配料
对于咖啡，服务员说：“cream or sugar。”
你可以选 “只奶” 、 “只加糖”、 选“两者” 或“都不选”。

3.1 蕴含（Implication）

重要的布尔运算符：A implicates B，也记作 $A⟹B$ 或者 $A\to B$ 。

读作：“A 蕴含 B”，也就是“如果 A，那么 B”。

蕴含的真值表：

$P$	$Q$	$P⟹Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

注意： $F⟹T$​ 这一种情况可能不太直观，所以我们用一个更具体的例子：

Example4 每周三我们穿粉色
也就是：“如果是周三，就穿粉色”，即“周三 ⇒ 穿粉色”。
在这个语境下，F implies T 是有意义的：在周四穿粉色并不会违反这个规则

蕴含的变体：

名称	形式	与原命题是否等价
原命题	$P⟹Q$	—
逆否命题（contrapositive）	$\mathrm{\neg }Q⟹\mathrm{\neg }P$	等价
逆命题（converse）	$Q⟹P$	不一定
否命题（inverse）	$\mathrm{\neg }P⟹\mathrm{\neg }Q$	不一定

Example 5

你可能见过 <3，表示“心形”或“我爱你”。也有人用 <4 表示“我更爱你”。但后者其实是更弱的表达！

因为 x < 3 蕴含 x < 4，但反过来不成立，所以 x < 3 是更强（信息量更大）的命题。

那是不是应该用 <2 呢？

Example 6

笛卡尔：“我思故我在”。 翻译成逻辑，T = I think（我在思考）； A = I am（我存在），原命题是 T => A

互联网上的meme说， 我不思故我不在， 这句话表达的是 ¬T，同时也隐含 ¬T 蕴含 ¬A

它是“逆命题”，而逆命题等价于“逆否命题的逆形式”，但与原命题不等价。

如果我的鞋子存在但不会思考，笛卡尔会认为没问题，但这个 meme 就不成立。

那是不是应该改成：“我不在，因此我不思考”？

四、 集合 (Sets)

Definition 4 集合（set）是对象的无序、无重复的集合体。

常用符号：

符号	含义
$\in$	元素属于集合
$\subseteq$	子集
$A\cap B$	交集
$A\cup B$	并集
$A\setminus B$	差集（$A$ 中不属于 $B$ 的元素）
$\mathrm{\varnothing }$	空集
$x\in S\mid P(x)$	集合构造符（set-builder notation）

重要集合：

• $\mathbb{N}=0,1,2,\dots$（自然数，含 0）
• $\mathbb{Z}=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$（整数）

有序元组（ordered tuple）：用括号表示，$(6,1,2,0)\ne (2,1,6,0)$，允许重复。

五、 公理 (Axioms)

Definition 5 公理（axiom）是被假设为真的命题，无需证明，必须明确声明。

Definition 6 公理集是相容的（consistent）成立，当且仅当没有任何命题既可被证明为真又可被证明为假。

Definition 7 公理集是完备的（complete）成立，当且仅当每个命题都可以被证明为真或为假。

Theorem 8 Gödel 不完备定理（Gödel's Incompleteness Theorem）： 不存在既完备又相容的公理集。

推论 Corollary 若要相容性（必要条件），则必然存在真命题无法被证明
哥德巴赫猜想可能就是这样一个例子

平行公理的例子（三种等价有效的几何体系）：

• 欧氏几何：过直线外一点恰好有一条平行线
• 球面几何：过直线外一点没有平行线
• 双曲几何：过直线外一点有无数条平行线

六、 关键术语速查

英文	中文
Proposition	命题
Predicate	谓词
Axiom	公理
Theorem / Lemma / Corollary	定理 / 引理 / 推论
Conjecture	猜想
Contrapositive	逆否命题
Converse	逆命题
Consistent / Complete	相容 / 完备
Set-builder notation	集合构造符