Lec 8 整除性

一、数论

整数的研究，这是数学中最古老的领域之一！数学家 Hardy 在 1940 年《一个数学家的辩白》（A Mathematician’s Apology）中曾说，我们可以庆幸：

数论与日常人类活动的距离如此遥远，因此它应该是温和而纯粹的

也就是说，它不应该用于战争。

但事实却完全相反：

数论后来拥有了大量应用，包括：

• 安全加密通信
• 电子商务
• 甚至在战争中也至关重要

不过这些就暂且不谈。

数论中有很多问题非常容易描述，但极其难以解决，例如：

• 哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）
• 双素数猜想（Twin Prime conjecture）

说到 Hardy，还有一个他和 Ramanujan 的趣事：

$1729=1^3+{12}^3=9^3+{10}^3$

这个数字不仅仅是一个数学趣闻：

• 它出现在后来 30 年后的 K3 曲面研究中
• 并与弦理论和量子物理有深刻联系

这说明：

数论几乎和一切都有联系。

二、整除性

Definition1 若存在整数 k 使得 ak = b， 则称 a 整除 b（a divides b） ， 记作 a | b
等价说法：b 是 a 的倍数（multiple），a 是 b 的因子（divisor）。

例： $3\mid 12$，$-5\mid 100$，$n\mid n$，特别地情况， $0\mid 0$。

基本性质：

性质	说明
$a\mid b$ 且 $b\mid c⟹a\mid c$	传递性
$a\mid b⟹a\mid bc$	整除可传递至倍数
$a\mid b$ 且 $a\mid c⟹a\mid (b+c)$	整除对加法封闭
$a\mid b$ 且 $a\mid c⟹a\mid (sb+tc),\mathrm{\forall }s,t\in \mathbb{Z}$	整除对整数线性组合（ILC）封闭

Definition2 整数线性组合（integer linear combination, ILC）

$b$ 和 $c$ 的整数线性组合（integer linear combination, ILC）是形如 $sb+tc$（$s,t\in \mathbb{Z}$）的整数。

2. 引例：水壶问题

问题： 给定容量为 $a$ 和 $b$ 的两个水壶，通过倒满、倒空、互倒操作，能否量出恰好 $m$ 升水？

状态机模型： 状态 $(x,y)$ 表示两壶当前水量，转移包括：

• 倒空：$(0,y)$ 或 $(x,0)$
• 倒满：$(a,y)$ 或 $(x,b)$
• 互倒（左→右）：$(0,x+y)$（若 $x+y\le b$）或 $(x+y-b,b)$（若 $x+y>b$）
• 互倒（右→左）：类似

不变量： $P(x,y)$：$x$ 和 $y$ 均是 $a$ 和 $b$ 的整数线性组合。

Proof（$P$ 被保持）： 设 $x=sa+tb$，$y=ua+vb$。所有转移后的新状态均属于 $\{0,x,y,a,b,x+y,x+y-a,x+y-b\}$，每个都是 $a,b$ 的 ILC（如 $x+y=(s+u)a+(t+v)b$）。$◼$

结论： 所有可达状态 $(x,y)$ 中，$x$ 和 $y$ 均是 $gcd(a,b)$ 的倍数。

• $a=3,b=5$：$gcd=1$，任意整数量可达（含 4）。
• $a=6,b=9$：$gcd=3$，5 不可达（5 不是 3 的倍数）。

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3. 最大公因子 (Greatest Common Divisor)

Definition. 整数 $a,b$ 的公因子（common divisor）是同时整除二者的整数 $d$。

Definition. $a$ 和 $b$ 的最大公因子（greatest common divisor），记作 $gcd(a,b)$，是满足"每个公因子都整除 $g$"的非负公因子 $g$。

特殊值： $gcd(a,0)=|a|$，$gcd(0,0)=0$。

3.1 关键引理

Lemma 1. $gcd(a,0)=|a|$。

Lemma 2. $gcd(a,b)=gcd(a,b-a)$。

Proof. $a,b$ 的公因子集合与 $a,b-a$ 的公因子集合相同（$d\mid a$ 且 $d\mid b⟺d\mid a$ 且 $d\mid (b-a)$），故最大公因子相同。$◼$

Theorem（带余除法 / Division Theorem）. 对整数 $n$ 和正整数 $d$，存在唯一整数对 $(q,r)$ 使得 $n=qd+r$ 且 $0\le r<d$。
$q=n\mathrm{div}d$ 称为商，$r=n\mathrm{rem}d$ 称为余数。

Lemma 3. $gcd(a,b)=gcd(a,b\mathrm{rem}a)$。

Proof. $b=aq+r$，故 $gcd(a,b)=gcd(a,b-a)=gcd(a,b-2a)=\cdots =gcd(a,r)$。$◼$

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4. 欧几里得算法 (Euclid's Algorithm)

Definition（欧几里得算法）. 从 $(a,b)$（$a\ge b\ge 0$）出发，反复执行 $(x,y)\mapsto (y,x\mathrm{rem}y)$，直到 $y=0$，此时 $gcd(a,b)=x$。

不变量： $gcd(x,y)=gcd(a,b)$（由 Lemma 3 保持）。

终止性： $x\mathrm{rem}y<y/2$（当 $y\le x$ 时），故每两步后 $x+y$ 至少减半，步数上界为 $O(\log (a+b))$（即位数之和）。

示例： $gcd(1001,777)$：

gcd(1001, 777) = gcd(777, 224)   [q=1]
               = gcd(224, 105)   [q=3]
               = gcd(105, 14)    [q=2]
               = gcd(14,  7)     [q=7]
               = gcd(7,   0)     [q=2]
               = 7

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5. 扩展欧几里得算法 (Extended Euclidean Algorithm / The Pulverizer)

目标： 不仅求 $gcd(a,b)$，还找到整数 $s,t$ 使得 $gcd(a,b)=sa+tb$。

思路： 在欧几里得算法的每一步中，同步维护 $x=sa+tb$ 和 $y=ua+vb$ 的表示。

状态： $(x,y,s,t,u,v)$，初始为 $(a,b,1,0,0,1)$。

转移： $(x,y,s,t,u,v)\mapsto (y,r,u,v,s-qu,t-qv)$，其中 $q=x\mathrm{div}y$，$r=x\mathrm{rem}y$。

不变量：

1. $gcd(x,y)=gcd(a,b)$
2. $x=sa+tb$
3. $y=ua+vb$

示例： $gcd(1001,777)=7$，追踪 ILC 表示：

$x$	$y$	表示
1001	777	$1001=1a+0b$
777	224	$224=a-b$
224	105	$105=-3a+4b$
105	14	$14=7a-9b$
14	7	$7=-52a+67b$
7	0	—

故 $gcd(1001,777)=7=-52\times 1001+67\times 777$。

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6. Bézout 恒等式与推论

Theorem (Bézout's Identity). $gcd(a,b)$ 可以写成 $a$ 和 $b$ 的整数线性组合：存在 $s,t\in \mathbb{Z}$ 使得 $gcd(a,b)=sa+tb$。

Corollary 1. 整数 $m$ 可以写成 $a,b$ 的 ILC $⟺$ $gcd(a,b)\mid m$。

Proof. ($\Rightarrow$) 任何 ILC 是 $gcd(a,b)$ 的倍数。($\Leftarrow$) 设 $m=k\cdot gcd(a,b)$，由 Bézout 得 $gcd(a,b)=sa+tb$，故 $m=(ks)a+(kt)b$。$◼$

Corollary 2. $gcd(a,b)$ 是 $a,b$ 所有正 ILC 中最小的。

Proof. 所有 ILC 恰好是 $gcd(a,b)$ 的所有倍数，$gcd(a,b)$ 是其中最小正整数。$◼$

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7. 关键术语速查

英文	中文
Divisibility / $a\mid b$	整除性
Divisor / Factor	因子
Multiple	倍数
Integer linear combination (ILC)	整数线性组合
Greatest common divisor (GCD)	最大公因子
Division Theorem	带余除法定理
Quotient / Remainder	商 / 余数
Euclid's Algorithm	欧几里得算法
Extended Euclidean Algorithm / Pulverizer	扩展欧几里得算法 / 辗转相除法
Bézout's Identity	Bézout 恒等式