Lec 4 状态机

今天我们将介绍一种名为状态机（State Machine）的全新抽象概念，它可以帮助我们对算法的工作原理进行建模。我们将展示如何使用归纳法来证明状态机的性质。但首先，让我们来看一个例子

一、引例：8 拼图问题

初始状态：

1 2 3
4 5 6
8 7 *

目标状态：

1 2 3
4 5 6
7 8 *

问题： 仅通过将相邻方块滑入空格，能否从初始到达目标？
答案： 不能。我们将用不变量原理证明这一点。

二、状态机 (State Machine)

Definition 状态机（state machine）：

状态集合（states）
初始状态（initial state）
状态转移规则（transitions）

确定性（deterministic）：每个状态至多一种转移。
非确定性（non-deterministic）：某些状态有多种可能转移。

执行（execution）：从初始状态出发，按转移规则生成的状态序列。

Definition 什么是可达性（reachable）若存在某条执行路径能到达状态 s，则称 s 是可达的

8 拼图的状态机模型：

状态：棋盘的所有排列（共 $9!$ 种）
初始状态： $12345687 *$
转移：将一个方块滑入空格

三、可达性与不变量

有一种用于证明“状态不可达性”的强大技巧，称为“不变量原理（Invariant Principle）”。它本质上是数学归纳法在状态机上的一种应用。从抽象角度看，这个思想非常简单。

Definition 保持谓词（preserved predicate）是一个定义在状态上的谓词P(⋅)，满足在某个状态 s 中若P(s) 为真，且 s -> t 是一次合法转移，则P(t)也为真

Definition 不变量（invariant）：对所有可达状态均为真的性质

Theorem 不变量原理（invariant）

若 $P (\cdot)$ 对初始状态为真，且 $P (\cdot)$ 是保持谓词，则 $P (\cdot)$ 是不变量。

Proof. 设 $Q (n)$ ：执行序列 $s_{0}, s_{1}, \dots, s_{n}$ 中 $P (s_{i})$ 对所有 $i$ 成立。用归纳法：

Base case： $P (s_{0})$ 由假设成立。
Inductive step： $s_{0}, \dots, s_{n}$ 满足 $Q (n)$ ，故 $P (s_{n})$ 成立；由保持性， $P (s_{n + 1})$ 也成立。 $◼$

Corollary推论 ** 若 P 是不变量且 P(s) 为假，则 s 不可达

证明：假设状态 s 是可达的，那么根据不变式定义， P(s) 必须为真。但我们已知 P(s) 为假，矛盾，因此s不可达 $◼$

四、8拼图的不可解性证明

4.1 计数逆序对

Definition. 序列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中，逆序对是满足 $i < j$ 且 $a_{i} > a_{j}$ 的下标对 $(i, j)$ 。逆序对的数目称为逆序对数目（number of inversions）。

例如：

序列 1 2 3 4：没有逆序对
序列 1 3 2 4：有 1 个逆序对（2,3）
序列 4 1 3 2：有 4 个逆序对

现在考虑 8-puzzle 的棋盘配置。我们可以把棋盘映射为一个 1 到 8 的数字序列，将棋盘排列删去 * 后得到序列。那么现在问题是：

当我们在滑动拼图时，这个序列中的逆序对数量会发生什么变化？

水平移动：不改变序列，逆序对数目不变。
垂直移动：* 跳过同行的两格，序列中某三个相邻元素 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}$ 循环移位为 $a_{i + 2}, a_{i}, a_{i + 1}$ 。该操作恰好改变两对下标的逆序状态，逆序对数目变化量为偶数（ $Δ \in {- 2, 0, + 2}$ ）。

关键结论： 任何合法移动不改变逆序对数目的奇偶性。

4.2 应用不变量

定义谓词 $P (s)$ ：状态 $s$ 对应序列的逆序对数目为奇数。

$P$ 是保持谓词（上述分析）。
初始状态 $12345687$ 的逆序对数目为 1（奇数），故 $P (s_{0})$ 为真。
由不变量原理， $P$ 是不变量：所有可达状态的逆序对数目均为奇数。

目标状态 $12345678$ 的逆序对数目为 0（偶数）， $P$ 为假，故目标状态不可达。 $◼$

五、终止性

到目前为止，我们已经看到如何使用状态机和不变式来讨论“可达性”。

状态机的另一个重要性质是：终止性（termination）。

Definition 状态机的终态（final state）是指没有任何可进行的转移的状态。

Definition 状态机是终止（terminates）的，是指不存在无限长的执行序列，即无论如何选择转移，最终必然到达终态。

直观来说，这意味着：

如果你不断运行这个状态机，无论每一步如何选择转移，最终都会到达一个终态。

5.1 导出变量法 / 势函数法

Definition 导出变量法（derived variable）又称势函数法（potential function）是将状态映射到实数的函数 f

$f$ 严格递减（strictly decreasing）：每次转移 $s \to t$ 均有 $f (t) < f (s)$ 。
$f$ 弱递减（weakly decreasing）：每次转移 $f (t) \leq f (s)$ 。

Theorem 若存在取值为自然数的严格递减导出变量，则状态机是终止的

Proof idea. 若不终止则存在无限执行，对应自然数的无限严格递减序列，矛盾，因为自然数中不存在无限严格递减序列。 $◼$

5.2 应用：简单排序算法的终止性

算法（Simple Sort）： 对序列 $a_{1}, \dots, a_{n}$ ，反复找相邻逆序对 $(a_{i}, a_{i + 1})$ （ $a_{i} > a_{i + 1}$ ）并交换，直到不存在逆序对为止。

状态机模型：

状态：输入序列的所有排列（permutations）
初始状态：给定的序列
转移：根据算法描述的相邻交换
终态：完全有序的序列

Claim. 所有终态均已排好序。（习题：用归纳法证明）。终态恰好是：

对所有 i，都满足 $a_{i} \leq a_{i + 1}$

Theorem Simple Sort 必然终止

Proof. 取势函数 $f (s) =$ 当前序列的逆序对数目（自然数值）。
每次交换一对相邻逆序对 $(a_{i}, a_{i + 1})$ ，该对从逆序变为顺序，逆序对数目恰好减少 1（其余对不受影响）。故 $f$ 严格递减，由定理知算法终止。 $◼$

额外结论： 算法步数恰好等于初始序列的逆序对数目，至多为 $\frac{n (n - 1)}{2}$ 。

7. 关键术语速查

英文	中文
State machine	状态机
Deterministic / Non-deterministic	确定性 / 非确定性
Execution	执行（序列）
Reachable state	可达状态
Preserved predicate	保持谓词
Invariant	不变量
Invariant Principle	不变量原理
Inversion	逆序对
Final state	终态
Termination	终止性
Derived variable / Potential function	导出变量 / 势函数
Strictly / Weakly decreasing	严格 / 弱递减

Lec 4 状态机 ​

一、引例：8 拼图问题 ​

二、状态机 (State Machine) ​

三、可达性与不变量 ​

四、8拼图的不可解性证明 ​

4.1 计数逆序对 ​

4.2 应用不变量 ​

五、终止性 ​

5.1 导出变量法 / 势函数法 ​

5.2 应用：简单排序算法的终止性 ​

7. 关键术语速查 ​