Lec 5 求和

求和在许多领域都非常重要，例如：

• 求解递推关系（recurrences）
• 计数（counting）
• 概率（probability）
• 算法运行时间分析（runtime analysis）
• 大规模系统性能分析（performance of large systems）
• 机器学习（machine learning）

以及更多数学与计算机科学中的应用。

一、 等比级数与年金问题

1.1 年金

贷款可以理解为：今天获得一笔一次性资金（lump sum），以后分期偿还，并且需要支付利息。 这种支付方式称为：年金 (Annuity)。

下面我们做一个简化假设：固定利率为 $p$ 时，今天的 $1 等价于 1 年后的 $(1+p)；反之，1 年后的 $1 折算为今天的 ${\displaystyle \frac{1}{1+p}}$。

【定义】： 一个年金计划，即在每年的年初支付m美元，持续n年。假设：固定利率为p。基于复利计算的假设条件：

• 今天的1美元在1年后会变成$(1+p)$。
• 今天的1美元在2年后会变成$(1+p{)}^2$。
• 反之，1年后的1美元今天的等值是$1/(1+p)$，也就是说，如果现在有$1/(1+p)$，在1年后将会等值于1美元。十年后的 1 美元，相当于今天的$(\frac{1}{1+p}{)}^{10}$美元，这称为 贴现（discounting）

Example 假设现在有一个：共持续 n 年，每年支付 m 美元，利率为 p 的年金。例如，美国联邦储备（Federal Reserve）的利率约为 p=0.0533， 按照贴现原则，这些未来的钱折算到今天，其总价值为多少 ？

支付时间如下：

• 现在支付m

• 一年后支付m， 支付的现值为$m/(1+p)$

• 2年后支付m，支付的现值为$m/(1+p{)}^2$

• n-1后年支付m，支付的现值为$m/(1+p{)}^{n-1}$

• 年金的现值公式为

$$\sum _{n=1}^{n}m/(1+p{)}^i=m\sum _{n=1}^n{x}^i,\text{其中x = 1/(1+p)}$$

$n$ 年、每年 $m$ 元的年金，折算为今日现值：

$$V=m\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k,\mathrm{其}\mathrm{中}，x=\frac{1}{1+p}$$

我们希望得到一个闭式（closed form）。

所谓闭式，就是：

一个没有求和符号、没有递归、没有省略号，可以直接放进计算器计算的公式

分裂法

考虑等比数列： $S=1+x+x^2+...+x^{n-1}$

通过乘以x并移动项： $xS=x+x^2+...+x^{n-1}+x^n$

然后相减，求S得 $S=\frac{1-x^n}{1-x}$

将$x=\frac{1}{1+p}$代入得到年金现值的闭式解：

$$V=m\left(\frac{1-x^n}{1-x}\right)=m\left(\frac{1+p-(1/(1+p){)}^n}{p}\right)$$

但是： 如果我们一开始不知道这个闭式公式，又该如何推导出来呢？

1.2 扰动法

（著名数学家高斯曾利用这种思想求出了求和公式）

设 $S={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{x}^k=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}}$，则

$$xS=x+x^2+\cdots +x^n$$

两式相减：

$$S-xS=1-x^n⟹(1-x)S=1-x^n⟹\boxed{{\displaystyle S=\frac{1-x^n}{1-x}}}(x\ne 1)\$\$\ast \ast \mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{等}\mathrm{比}\mathrm{级}\mathrm{数}\ast \ast （\$|x|<1\$）：\$\$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{1}{1-x}$$

应用： $p=0.0533$，$m=50000$，$n=20$ 时，$V\approx \mathrm{\$}638340$​。

Example 如果改成：每年支付 1 美元，并且永远支付下去，会怎样？

结果算出来， 其今天的价值仅约为 19.76 美元。

乍一看可能令人惊讶：永远都有收入，为什么总价值却有限？原因正是：未来的钱会不断贴现，因此越遥远的钱今天越不值钱。

现实中，这种永久支付的债券（Perpetual Bond）虽然罕见，但确实存在。现存最早的一张永久债券由荷兰一家水务公司于 1624 年发行。目前已知世界上仍保存着五张。其中一张被耶鲁大学（Yale）以约 2.4 万美元购得，如今每年仍能获得约 11.35 欧元的收益。

永续年金（perpetuity）：$V={\displaystyle \frac{m}{p}}$

二、多项式求和：Ansatz 方法

问题： 求 $S={\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2}$。

Ansatz（待定系数）法： 猜测答案为 $n$ 的 $d$ 次多项式，代入小值解出系数。

猜 $S=a{n}^3+b{n}^2+cn+d$，代入 $n=0,1,2,3$：

$$d=0,a+b+c=1,8a+4b+2c=5,27a+9b+3c=14$$

解得 $a={\displaystyle \frac{1}{3}},b={\displaystyle \frac{1}{2}},c={\displaystyle \frac{1}{6}}$，即

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

用归纳法验证对所有 $n$ 成立即完成证明。Ansatz Method，也可以理解为试探法

注意： 空求和（empty summation）${\displaystyle \sum _{k=1}^{0}f(k)=0}$。

三、双重求和

方法： 先化简内层和，再化简外层和。

Example 1.

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}j=\sum _{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(i^2+i)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

交换求和顺序（Exchange order of summation）：

对 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}j}$，求和域是 $1\le i\le j\le n$，等价地写成 $1\le j\le n,1\le i\le j$：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}j=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^{j}j=\sum _{j=1}^n{j}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

引入双重求和技巧： 对 ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}j\cdot 2^j}$，利用 $j={\displaystyle \sum _{i=1}^{j}1}$ 引入双重求和再交换：

$$\sum _{j=1}^{n}j\cdot 2^j=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^j{2}^j=\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n{2}^j=\sum _{i=1}^n(2^{n+1}-2^i)=n\cdot 2^{n+1}-(2^{n+1}-2)=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$$

四、积分估计法

对于没有闭合公式的求和（如 ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\sqrt{k}}$），用积分给出上下界。

4.1 单调递增函数的积分界

Theorem (Integral Bound — Increasing). 若 $f:[1,n]\to \mathbb{R}$ 弱递增，则

$$f(1)+{\int }_1^{n}f(x)dx\le \sum _{k=1}^{n}f(k)\le f(n)+{\int }_1^{n}f(x)dx$$

应用： $f(x)=\sqrt{x}$，${\displaystyle {\int }_1^n\sqrt{x}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}n\sqrt{n}-{\displaystyle \frac{2}{3}}}$，故

$$1+\frac{2}{3}n\sqrt{n}-\frac{2}{3}\le \sum _{k=1}^n\sqrt{k}\le \sqrt{n}+\frac{2}{3}n\sqrt{n}-\frac{2}{3}$$

4.2 单调递减函数的积分界

Theorem (Integral Bound — Decreasing). 若 $f:[1,n]\to \mathbb{R}$ 弱递减，则

$$f(n)+{\int }_1^{n}f(x)dx\le \sum _{k=1}^{n}f(k)\le f(1)+{\int }_1^{n}f(x)dx$$

4.3 广义积分界

Theorem (Integral Bound — Improper). 若 $f:[1,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ 弱递减，则

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)}$ 收敛 $⟺$ ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ 收敛。若均收敛，则

$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)\le f(1)+{\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$$

精度改进技巧： 将 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}}$ 分解为 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{m-1}}$（直接计算）$+{\displaystyle \sum _{k=m}^{\mathrm{\infty }}}$（积分估计），$m$ 越大界越精。

Example. ${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{-2}}$，$f(x)=x^{-2}$，$I={\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{-2}dx=1}$，得 $S\in [1,2]$。

拆出前三项再估计尾部可得 $S\in [{\displaystyle \frac{232}{144}},{\displaystyle \frac{241}{144}}]$。（实际值 $S={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$）

五、关键术语速查

英文	中文
Closed form	闭合公式
Geometric series	等比级数
Perturbation method	扰动法
Annuity / Perpetuity	年金 / 永续年金
Ansatz method	待定系数法
Empty summation	空求和（值为 0）
Double summation	双重求和
Exchange order of summation	交换求和顺序
Integral bound	积分界
Weakly increasing / decreasing	弱递增 / 递减