Lecture 15：关系与计数

1. 关系（Relations）

定义： 一个关系 $R\subseteq A\times B$ 由以下部分构成：

• 定义域 $A$（任意集合）
• 陪域 $B$（任意集合）
• 有序对的子集 $R\subseteq A\times B$

记法：$(a,b)\in R$ 也可写作 $a,R,b$，或将 $R$ 视为谓词写作 $R(a,b)$。方向很重要：$a$ 关联到 $b$ 不代表 $b$ 关联到 $a$。

关系可视为有向图：$a\to b$ 当且仅当 $(a,b)\in R$。

函数与全函数

定义： 若每个 $a\in A$ 至多关联到一个 $b\in B$，则称 $R$ 为函数，记作 $R:A\to B$。（每个 $a$ 至多一条出边。）

定义： 若每个 $a\in A$ 至少关联到一个 $b\in B$，则称 $R$ 为全关系（Total）。（每个 $a$ 至少一条出边。）

全函数 = 恰好每个 $a\in A$ 有唯一一条出边，即 $f(a)$ 对所有输入都有定义且唯一。

注意：$f(x)=1/x^2$ 作为 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的函数不是全函数（$f(0)$ 无定义），但作为 $\mathbb{R}\setminus 0\to \mathbb{R}$ 的函数是全函数。定义域和陪域不同，性质也不同。

单射与满射

定义：

• 单射（Injective）：每个 $b\in B$ 至多有一个 $a$ 与之关联。（每个 $b$ 至多一条入边。）
• 满射（Surjective）：每个 $b\in B$ 至少有一个 $a$ 与之关联。（每个 $b$ 至少一条入边。）

定理： 若 $A,B$ 是有限集，$R\subseteq A\times B$ 是全单射，则 $|A|\le |B|$。

定理： 若 $A,B$ 是有限集，$R\subseteq A\times B$ 是满射函数，则 $|A|\ge |B|$。

定义： 双射（Bijection） = 既单射又满射的全函数。

定理： 若 $A,B$ 是有限集且存在双射 $R:A\to B$，则 $|A|=|B|$。

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2. 单集合上的关系

当 $A=B$ 时，$R\subseteq A\times A$ 称为集合 $A$ 上的二元关系，等价于一个有向图。

常见例子：$a=b$、$a\equiv b(\mathrm{mod}10)$、$a\le b$、$A\subseteq B$、$a\mid b$。

有向图 $G$ 的可达性关系 $G^{\ast }$：$a,G^{\ast },b$ 当且仅当存在从 $a$ 到 $b$ 的游走。

强连通关系 $S$：$a,S,b$ 当且仅当 $a,G^{\ast },b$ 且 $b,G^{\ast },a$。

2.1 等价关系

动机： 捕捉"相同"或"等价"的含义，如模运算中的同余、图中属于同一连通分量。

定义： 设 $R\subseteq A\times A$：

• 自反性（Reflexive）：对所有 $a\in A$，$a,R,a$。
• 对称性（Symmetric）：$a,R,b\iff b,R,a$。
• 传递性（Transitive）：$a,R,b$ 且 $b,R,c$ $\Rightarrow$ $a,R,c$。

若 $R$ 同时满足自反性、对称性、传递性，则称 $R$ 为等价关系。

定理： 等价关系将 $A$ 划分为若干等价类，每个 $a\in A$ 恰属于一个等价类；$a,R,b$ 成立当且仅当 $a$ 与 $b$ 属于同一等价类。

2.2 弱偏序（Weak Partial Order，WPO）

动机： 捕捉"$\le$"的含义，如 $A\subseteq B$、$a\mid b$、DAG 中的可达关系。

保留自反性和传递性，将对称性替换为：

定义：

• 反对称性（Antisymmetric）：若 $a,R,b$ 且 $b,R,a$，则 $a=b$。

若 $R$ 满足自反性、反对称性、传递性，则称 $R$ 为弱偏序。

定理： 有向图 $G$ 上的可达关系是 WPO，当且仅当 $G$ 是 DAG。

定义： WPO 中，若 $a,R,b$ 或 $b,R,a$，则称 $a$ 与 $b$ 可比。

若每对元素都可比，则称 WPO 为线序（全序，Total Order）。

• $a\le b$ 是全序；$a\mid b$ 和 $A\subseteq B$ 不是（存在不可比的元素对）。

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3. 计数

3.1 核心思路：用双射计数

牧羊人的寓言： 不会数数的牧羊人靠"放一只羊出去就放一颗石子进口袋，收回一只就取出一颗"来确认羊全回来了。这本质上是在羊和石子之间建立双射，从而保证数量相同。

核心原则： 通常通过建立双射来计数。

3.2 乘法法则（Product Rule）

$$|A_1\times \cdots \times A_n|=|A_1|\cdot \cdots \cdot |A_n|$$

例： 长度为 $n$ 的二进制串的数量为 $2^n$，因为该集合就是 ${0,1}^n$。

3.3 双射法则（Bijection Rule）

若存在双射 $A\to B$，则 $|A|=|B|$。

例： $1,2,\dots ,n$ 的子集数为 $2^n$。

构造双射：子集 $A$ 映射到 $n$ 位二进制串，第 $i$ 位为 1 当且仅当 $i\in A$。

3.4 加法法则（Sum Rule）

若 $A_1,\dots ,A_n$ 两两不相交，则 $|A_1\cup \cdots \cup A_n|=|A_1|+\cdots +|A_n|$。

口诀： 若是"或"关系（从 $A_1$ 或 $A_2$ 中选），用加法；若是"且"关系（从 $A_1$ 且 $A_2$ 中选），用乘法。

例（密码计数）： 密码长度为 6~8，首字母大写，其余字符为大小写字母或数字（共 62 种）。设 $W_k$ 为长度 $k$ 的合法密码数，由乘法法则有 $W_k=26\cdot {62}^{k-1}$，故 $|W|=W_6+W_7+W_8\approx 5.7\times {10}^{15}$。

3.5 广义乘法法则（Generalized Product Rule）

设 $A$ 是长度为 $k$ 的序列的集合，其中：

• 第 1 个位置有 $n_1$ 种选择，
• 无论第 1 步如何选，第 2 个位置有 $n_2$ 种选择，
• ……无论前 $i-1$ 步如何选，第 $i$ 个位置有 $n_i$ 种选择，

则 $|A|=n_1\cdot n_2\cdots n_k$。

关键： 每步的选择数量不依赖之前的选择（具体内容可以变，但数量固定）。

例： 52 张牌的洗牌排列数 = $52\times 51\times \cdots \times 1=52!$。

例： 8 位序列号中无重复数字的比例：无重复的数量为 $10\times 9\times \cdots \times 3$，总数量为 ${10}^8$，比例约为 $1.8$。

反例（不能用广义乘法法则）： 求三位递增序列 $abc$（各位不同且 $a<b<c$）的数量。第二位的选择数依赖第一位的值（$a=7$ 时只有 $b=8$ 一种，$a=0$ 时有 8 种），因此不满足广义乘法法则的条件。