Lecture 16：计数

1. 规则回顾

乘法法则： $| A_{1} \times \dots \times A_{n} | = | A_{1} | \dots | A_{n} |$ ，用于"且"关系。
双射法则： 若 $f : A \to B$ 是双射，则 $| A | = | B |$ 。
加法法则： 若 $A_{1}, \dots, A_{n}$ 两两不相交，则 $| A_{1} \cup \dots \cup A_{n} | = | A_{1} | + \dots + | A_{n} |$ ，用于"或"关系。
广义乘法法则： 每步选择数量固定（不依赖之前选择的具体内容）时，总数为各步选择数之积。

广义乘法法则反例： 求三位递增序列的数量时，第二位的选择数依赖第一位，因此不能直接用。

排列： 集合 $S$ 的一个排列是包含 $S$ 中每个元素恰好一次的序列。若 $| S | = n$ ，则共有 $n!$ 个排列。

2. 除法法则（Division Rule）

定义： 若 $f : A \to B$ 是全函数，且每个 $b \in B$ 恰好有 $k$ 个原像，则称 $f$ 是 $k$ 对 1 映射，此时 $| B | = | A | / k$ 。

例（圆桌骑士）： $n$ 位骑士围圆桌就座，旋转等价的座位视为相同。设 $P$ 为所有排列的集合（ $| P | = n!$ ）， $C$ 为所有不同圆形排列的集合。每种圆形排列对应恰好 $n$ 种线性排列（旋转），故这是 $n$ 对 1 映射， $| C | = n! / n = (n - 1)!$ 。

3. 组合数 $(\binom{n}{r})$

问题： 从 $n$ 个元素中选 $r$ 个元素的子集，共有多少种方式？

推导：

先选有序序列： $n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1) = \frac{n!}{(n - r)!}$ 种。
每个大小为 $r$ 的子集对应 $r!$ 个有序序列（所有排列）。
由除法法则，子集数为 $\frac{n!}{(n - r)! \cdot r!}$ 。

(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{(n - r)!, r!} （读作" n 选 r "）

例：

从 350 人中选 4 名志愿者： $(\binom{350}{4})$ 种。
从 15 种配料中选 3 种披萨配料： $(\binom{15}{3})$ 种。
抛 100 枚硬币，恰好 50 正 50 反的序列数： $(\binom{100}{50})$ （约占全部 $2^{100}$ 种结果的 8%）。

回到递增序列问题： 从 $0, 1, \dots, 9$ 中选 3 个数字组成递增序列，等价于选一个大小为 3 的子集（选好后按升序排列即可），答案为 $(\binom{10}{3}) = 10! / (3! \cdot 7!)$ 。

4. 用序列/方案构造计数

方法论： 将目标对象的构造过程分解为一系列选择步骤，用广义乘法法则计数。

必须验证：

每组选择都产生集合中的一个对象。
集合中的每个对象恰好对应一种选择序列（是双射）。

若不是双射而是 $k$ 对 1，则用除法法则修正。

4.1 扑克手牌计数基础

标准牌组：13 个点数（A, 2, ..., 10, J, Q, K）× 4 种花色 = 52 张牌。

一手牌 = 5 张牌的子集。总手牌数： $(\binom{52}{5})$ 。

4.2 四条（4 of a Kind）

构造方案： 序列 $(R, C)$ ，其中 $R$ 是四条的点数， $C$ 是另一张不同点数的牌。手牌由 $R ♣, R ♡, R ♢, R ♠, C$ 确定。

验证双射：

每个 $(R, C)$ 都产生一手四条牌？✓
每手四条牌恰好对应一个 $(R, C)$ ？✓

由广义乘法法则： $13 \times 48 = 624$ 种。

4.3 四种花色齐全

错误方案： 依次选四种花色各自的点数再选一张多余牌，共 $13^{4} \times 48$ 种——但这不是双射！手牌 $6 ♢, Q ♡, A ♠, 2 ♣, J ♠$ 可由两种方式构造（哪张黑桃算"多余牌"有歧义），实际上是 2 对 1，故答案为 $13^{4} \times 48 / 2$ 。

正确方案（避免歧义）：

选有两张牌的花色 $S$ （另三种花色按字母序排为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ ）：4 种选法。
选 $S$ 对应的两个点数 $R_{a}, R_{b}$ ： $(\binom{13}{2})$ 种。
为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 各选一个点数： $13^{3}$ 种。

每手牌恰好对应一种构造，是双射，无需再除。

4.4 至少一对（At Least One Pair）

直接构造的困难：

方案"选对子点数 + 选两张花色 + 选其余 3 张"并非双射——多对牌的手牌可以由多种不同顺序构造，且对应的重复次数还不固定（普通对子 2 次、三条 3 次、两对 4 次……），无法用简单的除法法则修正。

正确做法：补集计数。

先计算没有对子的手牌数：

选 5 个不同点数的集合 $r_{1} < r_{2} < r_{3} < r_{4} < r_{5}$ ： $(\binom{13}{5})$ 种。
为每个点数独立选一种花色： $4^{5}$ 种。

无对子手牌数 $= (\binom{13}{5}) \times 4^{5}$ 。

至少有一对的手牌数 $= (\binom{52}{5}) - (\binom{13}{5}) \times 4^{5} \approx 49.3$ 的全部手牌。

Lecture 16：计数 ​

1. 规则回顾 ​

2. 除法法则（Division Rule） ​

3. 组合数 (nr) ​

4. 用序列/方案构造计数 ​

4.1 扑克手牌计数基础 ​

4.2 四条（4 of a Kind） ​

4.3 四种花色齐全 ​

4.4 至少一对（At Least One Pair） ​