Lecture 14：有向图与 DAG

1. 有向图基础

定义： 有向图（Digraph） $G=(V,E)$ 中，$E\subseteq V\times V$ 是有序对的集合。边 $(u,v)$ 写作 $u\to v$，表示从 $u$ 到 $v$ 的有向边。

与无向图的区别：

• 允许自环 $(v,v)$。
• 允许反向平行边：$(u,v)$ 与 $(v,u)$ 是不同的两条边。
• 仍然不允许重边（不能有两条 $u\to v$）。

应用举例： 状态机（状态 = 顶点，转移 = 有向边）、Twitter 关注图、道路网络（双向路用两条有向边表示）、网页超链接图（PageRank 的基础）。

度数

• 入度 ${\mathrm{deg}}^{-}(v)$：指向 $v$ 的边数。
• 出度 ${\mathrm{deg}}^{+}(v)$：从 $v$ 出发的边数。

有向握手引理：

$$\sum _{v\in V}{\mathrm{deg}}^{-}(v)=|E|=\sum _{v\in V}{\mathrm{deg}}^{+}(v)$$

游走与路径

有向游走：顶点序列 $v_0,\dots ,v_k$，满足 $(v_i,v_{i+1})\in E$（必须沿边的方向行走）。迹、路径、闭游走、回路的定义与无向图完全类似。

定理： 若存在从 $u$ 到 $v$ 的有向游走，则存在从 $u$ 到 $v$ 的有向路径。

在有向图中，圈可以有长度 1（自环）或长度 2（反向平行边对），而无向图中圈的长度至少为 3。

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2. 有向连通性

有向图中，连通性不对称。

定义： 若存在从 $u$ 到 $v$ 的有向游走，则称 $u$ 能到达 $v$（$v$ 从 $u$ 可达）。

定义： 若 $u$ 能到达 $v$ 且 $v$ 能到达 $u$，则称 $u$ 与 $v$ 强连通。

定义： 若每对顶点都强连通，则称图 $G$ 为强连通图。

有向欧拉回路

定理： 有向图存在欧拉回路，当且仅当图是强连通的，且每个顶点的入度等于出度。

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3. 强连通分量（SCC）

定义： 顶点 $v$ 的强连通分量（SCC） $[v]$ 是所有与 $v$ 强连通的顶点导出的子图。

SCC 对顶点构成划分。但与无向连通分量不同，SCC 之间可以存在有向边。

凝聚图（Condensation Graph）

定义： 图 $G=(V,E)$ 的凝聚图 $H=(C,E^{\prime })$，其中：

• $C=\{[v]:v\in V\}$（每个 SCC 压缩为一个节点）
• $E^{\prime }=\{([u],[v]):[u]\ne [v],(u,v)\in E\}$（SCC 之间若有有向边则建立对应边，删去自环）

关键性质： 每个凝聚图都是 DAG。

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4. DAG（有向无环图）

定义： 有向无环图（DAG） 是没有有向圈的有向图。

类比关系：无环无向图 → 森林；无环有向图 → DAG。

应用： 任务依赖调度、并发控制、数据处理流水线、构建系统等。

Hasse 图

• 若 $u\to v$ 是两点之间唯一的有向路径，则称为覆盖边。
• 否则称为冗余边（存在绕过该边的其他路径）。
• 只保留覆盖边得到的 DAG 称为 Hasse 图，它用更少的边编码了相同的偏序关系。

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5. 拓扑排序

定义： 入度为 0 的顶点称为源点（Source）；出度为 0 的顶点称为汇点（Sink）。在 DAG 中，源点即极小元，汇点即极大元。

定义： DAG 的拓扑序（拓扑排序） 是所有顶点的一个线性排列，使得每个顶点都出现在所有从它可达的顶点之前。

定理： 每个有限 DAG 都有拓扑序。

引理： 每个有限 DAG 至少有一个源点。

证明： 取最长有向路径，其起点必须是源点；否则可延长路径，或存在圈——均矛盾。

对 $n$ 作归纳的证明：

• 基础情形 $n=0$：空序列即为拓扑序。✓
• 归纳步骤： 设 $G$ 是 $n$ 个顶点的 DAG，取其源点 $v$。令 $H=G\setminus \{v\}$，$H$ 是 $n-1$ 个顶点的 DAG，由归纳假设有拓扑序。在该序列最前面加上 $v$，即得 $G$ 的拓扑序。✓

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6. 并行任务调度

目标： 给定带依赖关系的任务 DAG，使用尽可能多的并行工作者，最小化完成所有任务所需的阶段数。

定义：

• 两个顶点 $u,v$ 可比，若其中一个能到达另一个。
• 链（Chain） 是一个两两可比的顶点集合——链中的任务必须串行执行。
• 反链（Antichain） 是一个两两不可比的顶点集合——反链中的任务可以同时执行。
• 关键路径（Critical Path） 是最大的链。

基本事实：

最短并行调度的阶段数 $\ge$ 最长链的长度。

最短并行调度的阶段数 $=$ 最长链的长度。

证明思路： 定义 $\text{depth}(v)$ = 以 $v$ 为终点的最长路径长度。令 $V_i=\{v:\text{depth}(v)=i\}$。

• 若 $u$ 能到达 $v\ne u$，则 $\text{depth}(u)<\text{depth}(v)$（可将到达 $u$ 的路径接上 $u\to v$ 的路径）。
• 故每个 $V_i$ 是反链（其中所有顶点互不可达）。
• 每个 $v$ 的所有前驱深度严格更小，故在第 $i$ 阶段执行所有 $V_i$ 中的任务，所有依赖已满足。
• 总共恰好需要 $c$ 个阶段（$c$ 为关键路径长度）。

穿衣例子（Getting Dressed）：

V1 = {左袜, 右袜, 裤子, 衬衫}
V2 = {左鞋, 右鞋, 腰带, 外套}
V3 = {围巾, 帽子}
V4 = {大衣}

关键路径为 {衬衫 → 外套 → 围巾 → 大衣}，共 4 个阶段。

注：最大反链的大小给出所需工作者数量的上界，但实际可能需要更少。

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7. Dilworth 定理（了解，不考）

定理： 对任意 $t>0$，$n$ 个顶点的 DAG 必然存在大小 $>t$ 的链，或大小 $\ge n/t$ 的反链。

推论（取 $t=\sqrt{n}$）：每个 $n$ 顶点 DAG 必然存在大小 $\ge \sqrt{n}$ 的链或反链。

证明： 若最大链大小 $c\le t$ 且最大反链大小 $\ell <n/t$，则按深度划分顶点得到 $c$ 个反链，每个大小 $<\ell$，总顶点数 $<c\cdot \ell <t\cdot (n/t)=n$——与共有 $n$ 个顶点矛盾。