Lec 9 模运算

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• $a\equiv b\pmod n$ 表示 $n\mid(a-b)$；同余与加法、减法和乘法相容，因而可在余数类上做代数运算。
• 模 $n$ 下的除法必须通过乘法逆元实现；$a$ 存在逆元当且仅当 $\gcd(a,n)=1$。
• Fermat 小定理说明当 $p$ 为素数且 $p mid a$ 时，$a^{p-1}equiv1pmod p$，它支撑快速模幂、素性测试与公钥密码的基础论证。

1. 模运算的直觉

模运算的核心思想：忽略 $n$ 的倍数，只关注余数。

场景	模数 $n$
奇偶性	2
星期几	7
数字末位	10
时钟（12小时）	12

Example. 现在是周二，100 天后是星期几？$100 \operatorname{rem} 7 = 2$，周二加 2 天 = 周四。

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2. 同余关系 (Congruence)

Definition. 称 $a$ 同余于 $b$ 模 $n$（a is congruent to b mod n），记作 $a \equiv_n b$，当且仅当 $n \mid (a - b)$。

等价刻画：

Theorem. $a \equiv_n b \iff (a \operatorname{rem} n) = (b \operatorname{rem} n)$。

Proof. 若余数相同均为 $r$，则 $a = nq + r$，$b = nq' + r$，故 $a - b = n(q - q')$，即 $n \mid (a-b)$。反之若 $n \mid (a-b)$，设 $b = qn + r$，则 $a = (k+q)n + r$，由带余除法唯一性知 $a \operatorname{rem} n = r$。$\blacksquare$

剩余类（residue classes / equivalence classes）： 模 $n$ 下恰好有 $n$ 个类 $[0], [1], \ldots, [n-1]$，每个整数属于其余数所在的类。

示例（模 5）：

[0] = { ..., -10, -5,  0,  5, 10, ... }
[1] = { ...,  -9, -4,  1,  6, 11, ... }
[2] = { ...,  -8, -3,  2,  7, 12, ... }
[3] = { ...,  -7, -2,  3,  8, 13, ... }
[4] = { ...,  -6, -1,  4,  9, 14, ... }

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3. 符号说明

写法	含义	类型
a rem n / a mod n	$a$ 除以 $n$ 的非负余数，值域 $[0, n)$	函数，单一确定值
$a \equiv_n b$ / $a \equiv b \pmod{n}$	$a$ 与 $b$ 模 $n$ 同余	关系，双方无需在 $[0,n)$ 内

注意： 不同编程语言对负数取模行为不同。本课始终使用非负余数定义（Python / Mathematica 约定）。例：$(-43) \operatorname{rem} 10 = 7$，而非 $-3$。

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4. 模运算的代数性质

Theorem. 若 $a \equiv_n b$，则对任意 $c$：

1. $a + c \equiv_n b + c$
2. $ac \equiv_n bc$
3. $a - c \equiv_n b - c$
4. $c - a \equiv_n c - b$

Proof. 每条均由 $n \mid (a - b)$ 直接验证。例如第 2 条：$ac - bc = (a-b)c$，是 $a-b$ 的倍数，故 $n \mid (ac - bc)$。$\blacksquare$

Theorem. 若 $x \equiv_n y$，则对任意 $k \geq 1$，$x^k \equiv_n y^k$。

Proof（归纳）： Base case $k=1$ 即假设。归纳步骤： $x^k = x \cdot x^{k-1} \equiv_n y \cdot x^{k-1} \equiv_n y \cdot y^{k-1} = y^k \qquad \blacksquare$

警告： 指数本身不能随意对 $n$ 取模。例：$1 \equiv_5 6$，但 $2^1 = 2 \not\equiv_5 64 = 2^6$。

Example. 求 $x = 1133^{511111}(6 + 77995000)$ 的最后两位（即 $x \operatorname{rem} 100$）。

• 底数：$1133 \equiv_{100} 33$，进一步 $35^1 \equiv_{100} 35$，$35^2 \equiv_{100} 25$，$35^3 \equiv_{100} 75$，$35^4 \equiv_{100} 25$，…（在 25 和 75 间交替），$35^{11111} \equiv_{100} 75$。
• 指数中：$99 \equiv_{100} -1$，故 $99^{5000} \equiv_{100} (-1)^{5000} = 1$，即括号内 $\equiv_{100} 6 + 1 = 7$。
• 故 $x \equiv_{100} 75 \times 7 = 525 \equiv_{100} 25$。

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5. 模意义下的除法与逆元

5.1 乘法逆元 (Multiplicative Inverse)

Definition. $a$ 模 $n$ 的乘法逆元是满足 $ab \equiv_n 1$ 的整数 $b$，记作 $a^{-1}$。

Theorem. $a$ 有模 $n$ 的逆元 $\iff$ $\gcd(a, n) = 1$（即 $a$ 与 $n$ 互质）。

Proof. $\exists b:\; ab \equiv_n 1 \iff \exists b, q:\; ab - nq = 1 \iff 1$ 是 $a, n$ 的 ILC $\iff \gcd(a,n) = 1$。$\blacksquare$

Corollary. 若 $p$ 是质数且 $a \not\equiv_p 0$，则 $a$ 有模 $p$ 的逆元。

求逆元的方法： 用 Pulverizer（扩展欧几里得算法）。

Example. $7$ 和 $13$ 是模 $30$ 的互逆（$7 \times 13 = 91 \equiv_{30} 1$）。
解方程 $7x \equiv_{30} 14$：两边乘以 $13$，得 $91x \equiv_{30} 182$，即 $x \equiv_{30} 2$。

5.2 注意：不能随便"约分"

若 $\gcd(a, n) > 1$，则 $a$ 无逆元，从 $ac \equiv_n bc$ 不能推出 $a \equiv_n b$。
例：$3 \times 5 \equiv_6 3 \times 1$，但 $5 \not\equiv_6 1$。

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6. Fermat 小定理 (Fermat's Little Theorem)

Theorem (FLT). 若 $p$ 为质数且 $a \not\equiv_p 0$，则 $a^{p-1} \equiv_p 1$。

Proof. 考虑集合 $\{a, 2a, 3a, \ldots, (p-1)a\}$ 模 $p$ 的余数：

• 无一为 $0$（因 $p \nmid a$，$p$ 是质数）；
• 无两个相同（若 $ia \equiv_p ja$，则因 $a$ 有逆元，$i \equiv_p j$，但 $1 \leq i, j \leq p-1$ 无重复）。

故此集合模 $p$ 恰好是 $\{1, 2, \ldots, p-1\}$ 的某个排列，两边取乘积：

$(p-1)! \cdot a^{p-1} \equiv_p (p-1)!$

因 $\gcd((p-1)!, p) = 1$，可约去 $(p-1)!$，得 $a^{p-1} \equiv_p 1$。$\blacksquare$

推论： 模质数 $p$ 时，指数可以对 $p-1$ 取模（而非对 $p$）：

当 $p \nmid a$ 时，由 Fermat 小定理可将正指数按 $p-1$ 化简：

$a^k \equiv_p a^{k \operatorname{rem} (p-1)}$

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7. 应用

7.1 整除 9 的判断法

Theorem. $n$ 被 9 整除 $\iff$ $n$ 的各位数字之和被 9 整除。

Proof. 设 $n = \sum_{i} d_i \cdot 10^i$。因 $10 \equiv_9 1$，故 $10^i \equiv_9 1$，所以 $n \equiv_9 \sum_i d_i$。$\blacksquare$

7.2 ISBN 校验码

ISBN-10：$(a_1, \ldots, a_{10})$，校验条件为

$\sum_{i=1}^{10} i \cdot a_i \equiv_{11} 0$

• 模数 11 是质数，$\gcd(10, 11) = 1$，故 $a_{10}$ 总有唯一解（由前 9 位确定）。
• 可证：单个数字出错或相邻两位互换，校验均失败。

7.3 奇偶校验 (Parity)

简单 RAID 思路：存 $b_1, b_2$，第三块存 $b_3 = b_1 \oplus b_2$（加法模 2）。任意一块损坏可从另两块恢复。

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8. 关键术语速查

英文	中文
Congruence $a \equiv_n b$	同余
Residue / Remainder	余数
Residue class / Equivalence class	剩余类 / 等价类
Modular arithmetic	模运算 / 模算术
Multiplicative inverse	乘法逆元
Coprime	互质
Fermat's Little Theorem (FLT)	Fermat 小定理
Parity	奇偶性
ISBN checksum	ISBN 校验码

我的理解