Lec 1 谓词、集合与证明

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 数学证明是从明确公理出发，通过合法逻辑推理建立命题的过程；实验和大量例子不能替代证明。
• 命题具有确定真值，谓词的真值则依赖变量；否定、合取、析取、蕴含和双条件把简单命题组合成复杂命题。
• 蕴含 $PRightarrow Q$ 只在 $P$ 真而 $Q$ 假时为假，并与逆否命题等价；集合语言则用来精确表达对象的范围和关系。

一、证明

一种确认事实的方法。

• 实验 / 观察（物理）
• 采样（统计）
• 法律（法官 / 陪审团）
• 民意（公众意见）
• 商业（权威人士）
• 内心确信
• “为什么不呢？”

在数学领域呢 ？

证明由三个核心要素构成：命题（要证什么）、公理（从哪里出发）、逻辑推导（怎么走）。

二、命题与谓词

示例：

• 命题 1： $2 + 3 = 5$（True）
• 命题 2： $2 + 3 = 6$（False）
• 命题 3：$\forall n \in \mathbb{N},\; n^2 + n + 41 \text{ is prime}$（False，$n = 41$ 时 $= 43 \times 41$）

非命题示例： "Hello."、"Who are you?"、"This statement is false."（自指悖论，不处理）

教训： 即便前 40 个例子全部验证为真，也不能称为"证明"——这叫 用例子证明（Proof by Example），数学中是无效的证明。

• 命题 4（哥德巴赫猜想，Goldbach’s Conjecture）：每一个大于 2 的偶数，都可以表示为两个素数之和。
  • 真还是假？未知！
  • 对于所有已经被检验过的偶数，这个命题都成立……目前普遍认为它是成立的（但没有证明）
  • 它看起来非常困难，在 90 年代中期甚至被《波士顿环球报》作为“重大未解之谜”刊登在头版之一

命题分类：

术语	含义
Theorem	重要的已证真命题
Lemma	辅助性已证命题
Corollary	由定理直接推出的命题
Conjecture	尚未证明或证伪的猜想

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三、 联接谓词

构造新的命题时，我们可以通过组合已有命题来实现。例如

基本运算符（$P$、$Q$ 为命题）：

符号	名称	真值规则
$\neg P$	Negation	$P$ 为假时为真
$P \land Q$	Conjunction（AND）	二者均真时为真
$P \lor Q$	Disjunction（OR，inclusive）	至少一者为真时为真
$P \implies Q$	Implication	$P$ 真且 $Q$ 假时为假
$P \iff Q$	Biconditional（iff）	二者真值相同时为真（等价）

然而在日常语言中……

3.1 蕴含（Implication）

重要的布尔运算符：A implicates B，也记作 $A \implies B$ 或者 $A \rightarrow B$ 。

读作：“A 蕴含 B”，也就是“如果 A，那么 B”。

蕴含的真值表：

$P$	$Q$	$P \implies Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

注意： $F \implies T$ 这一种情况可能不太直观，所以我们用一个更具体的例子：

蕴含的变体：

名称	形式	与原命题是否等价
原命题	$P \implies Q$	—
逆否命题（contrapositive）	$\neg Q \implies \neg P$	等价
逆命题（converse）	$Q \implies P$	不一定
否命题（inverse）	$\neg P \implies \neg Q$	不一定

四、 集合 (Sets)

常用符号：

符号	含义
$\in$	元素属于集合
$\subseteq$	子集
$A \cap B$	交集
$A \cup B$	并集
$A \setminus B$	差集（$A$ 中不属于 $B$ 的元素）
$\emptyset$	空集
${x \in S \mid P(x)}$	集合构造符（set-builder notation）

重要集合：

• $\mathbb{N} = {0, 1, 2, \ldots}$（自然数，含 0）
• $\mathbb{Z} = {\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots}$（整数）

有序元组（ordered tuple）：用括号表示，$(6, 1, 2, 0) \neq (2, 1, 6, 0)$，允许重复。

五、 公理 (Axioms)

平行公理的例子（三种等价有效的几何体系）：

• 欧氏几何：过直线外一点恰好有一条平行线
• 球面几何：过直线外一点没有平行线
• 双曲几何：过直线外一点有无数条平行线

六、 关键术语速查

英文	中文
Proposition	命题
Predicate	谓词
Axiom	公理
Theorem / Lemma / Corollary	定理 / 引理 / 推论
Conjecture	猜想
Contrapositive	逆否命题
Converse	逆命题
Consistent / Complete	相容 / 完备
Set-builder notation	集合构造符

我的理解