Lec 5 求和方法

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 几何级数可用分裂或扰动法求和；无穷级数公式还需要 $|x|<1$ 以保证余项收敛。
• Ansatz 方法先假设和式属于某个有限维函数族，再用差分关系或若干样本点解出系数。
• 重排双重求和要保持索引域不变；对单调函数，积分可用上下矩形夹住离散和，给出闭式估计和渐近界。

一、 等比级数与年金问题

1.1 年金

贷款可以理解为：今天获得一笔一次性资金（lump sum），以后分期偿还，并且需要支付利息。 这种支付方式称为：年金 (Annuity)。

下面我们做一个简化假设：固定利率为 $p$ 时，今天的 $1 等价于 1 年后的 $(1+p)；反之，1 年后的 $1 折算为今天的 $\dfrac{1}{1+p}$。

【定义】： 一个年金计划，即在每年的年初支付 m 美元，持续 n 年。假设：固定利率为p。基于复利计算的假设条件：

• 今天的 1 美元在 1 年后会变成**$(1 + p)$**。
• 今天的 1 美元在 2 年后会变成**$(1 + p)^2$**。
• 反之，1 年后的 1 美元今天的等值是**$1 / (1 + p)$，也就是说，如果现在有$1 / (1 + p)$，在 1 年后将会等值于 1 美元。十年后的 1 美元，相当于今天的$(\frac{1}{1 + p})^{10}$**美元，这称为 贴现（discounting）

支付时间如下：

• 现在支付 m

• 一年后支付 m， 支付的现值为$m/(1+p)$

• 2 年后支付 m，支付的现值为$m/(1+p)^2$

• n-1 后年支付 m，支付的现值为$m/(1+p)^{n-1}$

• 年金的现值公式为

$$\sum^n_{n=1} m/(1+p)^i = m\sum^n_{n=1} x^i, \text{其中x = 1/(1+p)}$$

$n$ 年、每年 $m$ 元的年金，折算为今日现值：

$V = m \sum_{k=0}^{n-1} x^k, 其中，\quad x = \frac{1}{1+p}$

我们希望得到一个闭式（closed form）。

所谓闭式，就是：

一个没有求和符号、没有递归、没有省略号，可以直接放进计算器计算的公式

分裂法

考虑等比数列： $S = 1 + x + x^2 + ... + x^{n-1}$

通过乘以x并移动项： $xS = x + x^2 + ... + x^{n-1} + x^n$

然后相减，求 S 得 $S = \frac{1 - x^n}{1 - x}$

将$x = \frac{1}{1 + p}$代入得到年金现值的闭式解： $V = m \left(\frac{1 - x^n}{1 - x}\right) = m \left(\frac{1 + p - (1/(1 + p))^n}{p}\right)$

但是： 如果我们一开始不知道这个闭式公式，又该如何推导出来呢？

1.2 扰动法

（著名数学家高斯曾利用这种思想求出了求和公式）

设 $S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} x^k = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}$，则

$xS = x + x^2 + \cdots + x^n$

两式相减：

$S - xS = 1 - x^n \implies (1-x)S = 1 - x^n \implies \boxed{S = \frac{1-x^n}{1-x}} \quad (x \neq 1)$

无穷等比级数（$|x| < 1$）：

$\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \lim_{n\to\infty} \frac{1-x^n}{1-x} = \frac{1}{1-x}$

应用： $p = 0.0533$，$m = 50000$，$n = 20$ 时，V \approx \638340$。

结果算出来， 其今天的价值仅约为 19.76 美元。

乍一看可能令人惊讶：永远都有收入，为什么总价值却有限？原因正是：未来的钱会不断贴现，因此越遥远的钱今天越不值钱。

现实中，这种永久支付的债券（Perpetual Bond）虽然罕见，但确实存在。现存最早的一张永久债券由荷兰一家水务公司于 1624 年发行。目前已知世界上仍保存着五张。其中一张被耶鲁大学（Yale）以约 2.4 万美元购得，如今每年仍能获得约 11.35 欧元的收益。

永续年金（perpetuity）：$V = \dfrac{m}{p}$

二、多项式求和：Ansatz 方法

问题： 求 $S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$。

Ansatz（待定系数）法： 猜测答案为 $n$ 的 $d$ 次多项式，代入小值解出系数。

猜 $S = an^3 + bn^2 + cn + d$，代入 $n = 0,1,2,3$：

$d = 0,\quad a+b+c = 1,\quad 8a+4b+2c = 5,\quad 27a+9b+3c = 14$

解得 $a = \dfrac{1}{3},\; b = \dfrac{1}{2},\; c = \dfrac{1}{6}$，即

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

用归纳法验证对所有 $n$ 成立即完成证明。Ansatz Method，也可以理解为试探法

注意： 空求和（empty summation）$\displaystyle\sum_{k=1}^{0} f(k) = 0$。

三、双重求和

方法： 先化简内层和，再化简外层和。

Example 1.

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} j = \sum_{i=1}^{n} \frac{i(i+1)}{2} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(i^2 + i) = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

交换求和顺序（Exchange order of summation）：

对 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n} j$，求和域是 $1 \leq i \leq j \leq n$，等价地写成 $1 \leq j \leq n,\; 1 \leq i \leq j$：

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n} j = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j} j = \sum_{j=1}^{n} j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

引入双重求和技巧： 对 $\displaystyle\sum_{j=1}^{n} j\cdot 2^j$，利用 $j = \displaystyle\sum_{i=1}^{j} 1$ 引入双重求和再交换：

$\sum_{j=1}^{n} j\cdot 2^j = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j} 2^j = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n} 2^j = \sum_{i=1}^{n}(2^{n+1} - 2^i) = n\cdot 2^{n+1} - (2^{n+1}-2) = (n-1)\cdot 2^{n+1} + 2$

四、积分估计法

对于没有闭合公式的求和（如 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}$），用积分给出上下界。

4.1 单调递增函数的积分界

Theorem (Integral Bound — Increasing). 若 $f:[1,n]\to\mathbb{R}$ 弱递增，则

$f(1) + \int_1^n f(x)\,dx \;\leq\; \sum_{k=1}^n f(k) \;\leq\; f(n) + \int_1^n f(x)\,dx$

应用： $f(x) = \sqrt{x}$，$\displaystyle\int_1^n \sqrt{x}\,dx = \dfrac{2}{3}n\sqrt{n} - \dfrac{2}{3}$，故

$1 + \frac{2}{3}n\sqrt{n} - \frac{2}{3} \;\leq\; \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \;\leq\; \sqrt{n} + \frac{2}{3}n\sqrt{n} - \frac{2}{3}$

4.2 单调递减函数的积分界

Theorem (Integral Bound — Decreasing). 若 $f:[1,n]\to\mathbb{R}$ 弱递减，则

$f(n) + \int_1^n f(x)\,dx \;\leq\; \sum_{k=1}^n f(k) \;\leq\; f(1) + \int_1^n f(x)\,dx$

4.3 广义积分界

Theorem (Integral Bound — Improper). 若 $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ 弱递减，则

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} f(k)$ 收敛 $\iff$ $\displaystyle\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ 收敛。若均收敛，则

$\int_1^{\infty} f(x)\,dx \;\leq\; \sum_{k=1}^{\infty} f(k) \;\leq\; f(1) + \int_1^{\infty} f(x)\,dx$

精度改进技巧： 将 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}$ 分解为 $\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}$（直接计算）$+\displaystyle\sum_{k=m}^{\infty}$（积分估计），$m$ 越大界越精。

Example. $\displaystyle S = \sum_{k=1}^{\infty} k^{-2}$，$f(x) = x^{-2}$，$I = \displaystyle\int_1^{\infty} x^{-2}\,dx = 1$，得 $S \in [1, 2]$。

拆出前三项再估计尾部可得 $S \in \left[\dfrac{232}{144}, \dfrac{241}{144}\right]$。（实际值 $S = \dfrac{\pi^2}{6}$）

五、关键术语速查

英文	中文
Closed form	闭合公式
Geometric series	等比级数
Perturbation method	扰动法
Annuity / Perpetuity	年金 / 永续年金
Ansatz method	待定系数法
Empty summation	空求和（值为 0）
Double summation	双重求和
Exchange order of summation	交换求和顺序
Integral bound	积分界
Weakly increasing / decreasing	弱递增 / 递减

我的理解