Lec 8 整除性与欧几里得算法

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• $a\mid b$ 表示 $b$ 是 $a$ 的整数倍；公因子对整数线性组合封闭，这是水壶可达性与 Bézout 恒等式的共同基础。
• $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$ 在保持公因子集的同时缩小参数，因而导出欧几里得算法。
• 扩展欧几里得算法在求最大公因子的同时求出 $sa+tb=\gcd(a,b)$ 的系数，为模逆元和线性不定方程提供构造性方法。

一、数论

整数的研究，这是数学中最古老的领域之一！数学家 Hardy 在 1940 年《一个数学家的辩白》（A Mathematician’s Apology）中曾说，我们可以庆幸：

数论与日常人类活动的距离如此遥远，因此它应该是温和而纯粹的

也就是说，它不应该用于战争。

但事实却完全相反：

数论后来拥有了大量应用，包括：

• 安全加密通信
• 电子商务
• 甚至在战争中也至关重要

不过这些就暂且不谈。

数论中有很多问题非常容易描述，但极其难以解决，例如：

• 哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）
• 双素数猜想（Twin Prime conjecture）

说到 Hardy，还有一个他和 Ramanujan 的趣事：

$1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3$

这个数字不仅仅是一个数学趣闻：

• 它出现在后来 30 年后的 K3 曲面研究中
• 并与弦理论和量子物理有深刻联系

这说明：

数论几乎和一切都有联系。

二、整除性

例： $3 \mid 12$，$-5 \mid 100$，$n \mid n$，特别地情况， $0 \mid 0$。

基本性质：

性质	说明
$a \mid b$ 且 $b \mid c \implies a \mid c$	传递性
$a \mid b \implies a \mid bc$	整除可传递至倍数
$a \mid b$ 且 $a \mid c \implies a \mid (b+c)$	整除对加法封闭
$a \mid b$ 且 $a \mid c \implies a \mid (sb + tc),\; \forall s,t \in \mathbb{Z}$	整除对整数线性组合（ILC）封闭

$b$ 和 $c$ 的整数线性组合（integer linear combination, ILC）是形如 $sb + tc$（$s, t \in \mathbb{Z}$）的整数。

2. 引例：水壶问题

问题： 给定容量为 $a$ 和 $b$ 的两个水壶，通过倒满、倒空、互倒操作，能否量出恰好 $m$ 升水？

状态机模型： 状态 $(x, y)$ 表示两壶当前水量，转移包括：

• 倒空：$(0, y)$ 或 $(x, 0)$
• 倒满：$(a, y)$ 或 $(x, b)$
• 互倒（左→右）：$(0, x+y)$（若 $x+y \leq b$）或 $(x+y-b, b)$（若 $x+y > b$）
• 互倒（右→左）：类似

不变量： $P(x, y)$：$x$ 和 $y$ 均是 $a$ 和 $b$ 的整数线性组合。

Proof（$P$ 被保持）： 设 $x = sa + tb$，$y = ua + vb$。所有转移后的新状态均属于 $\{0, x, y, a, b, x+y, x+y-a, x+y-b\}$，每个都是 $a, b$ 的 ILC（如 $x+y = (s+u)a+(t+v)b$）。$\blacksquare$

结论： 所有可达状态 $(x, y)$ 中，$x$ 和 $y$ 均是 $\gcd(a, b)$ 的倍数。

• $a = 3, b = 5$：$\gcd = 1$，任意整数量可达（含 4）。
• $a = 6, b = 9$：$\gcd = 3$，5 不可达（5 不是 3 的倍数）。

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3. 最大公因子 (Greatest Common Divisor)

Definition. 整数 $a, b$ 的公因子（common divisor）是同时整除二者的整数 $d$。

Definition. $a$ 和 $b$ 的最大公因子（greatest common divisor），记作 $\gcd(a, b)$，是满足"每个公因子都整除 $g$"的非负公因子 $g$。

特殊值： $\gcd(a, 0) = |a|$，$\gcd(0, 0) = 0$。

3.1 关键引理

Lemma 1. $\gcd(a, 0) = |a|$。

Lemma 2. $\gcd(a, b) = \gcd(a, b - a)$。

Proof. $a, b$ 的公因子集合与 $a, b-a$ 的公因子集合相同（$d \mid a$ 且 $d \mid b \iff d \mid a$ 且 $d \mid (b-a)$），故最大公因子相同。$\blacksquare$

Theorem（带余除法 / Division Theorem）. 对整数 $n$ 和正整数 $d$，存在唯一整数对 $(q, r)$ 使得 $n = qd + r$ 且 $0 \leq r < d$。
$q = n \operatorname{div} d$ 称为商，$r = n \operatorname{rem} d$ 称为余数。

Lemma 3. $\gcd(a, b) = \gcd(a,\; b \operatorname{rem} a)$。

Proof. $b = aq + r$，故 $\gcd(a,b) = \gcd(a, b-a) = \gcd(a, b-2a) = \cdots = \gcd(a, r)$。$\blacksquare$

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4. 欧几里得算法 (Euclid's Algorithm)

Definition（欧几里得算法）. 从 $(a, b)$（$a \geq b \geq 0$）出发，反复执行 $(x, y) \mapsto (y,\; x \operatorname{rem} y)$，直到 $y = 0$，此时 $\gcd(a, b) = x$。

不变量： $\gcd(x, y) = \gcd(a, b)$（由 Lemma 3 保持）。

终止性： $0 \leq x \operatorname{rem} y < y$，因此第二个参数每步都严格变小。更精确地说，每两步至少将较大参数减半，所以欧几里得算法需要 $O(\log \min(a,b))$ 次取余。

示例： $\gcd(1001, 777)$：

gcd(1001, 777) = gcd(777, 224)   [q=1]
               = gcd(224, 105)   [q=3]
               = gcd(105, 14)    [q=2]
               = gcd(14,  7)     [q=7]
               = gcd(7,   0)     [q=2]
               = 7

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5. 扩展欧几里得算法 (Extended Euclidean Algorithm / The Pulverizer)

目标： 不仅求 $\gcd(a, b)$，还找到整数 $s, t$ 使得 $\gcd(a, b) = sa + tb$。

思路： 在欧几里得算法的每一步中，同步维护 $x = sa + tb$ 和 $y = ua + vb$ 的表示。

状态： $(x, y, s, t, u, v)$，初始为 $(a, b, 1, 0, 0, 1)$。

转移： $(x, y, s, t, u, v) \mapsto (y, r, u, v, s-qu, t-qv)$，其中 $q = x \operatorname{div} y$，$r = x \operatorname{rem} y$。

不变量：

1. $\gcd(x, y) = \gcd(a, b)$
2. $x = sa + tb$
3. $y = ua + vb$

示例： $\gcd(1001, 777) = 7$，追踪 ILC 表示：

$x$	$y$	表示
1001	777	$1001 = 1a + 0b$
777	224	$224 = a - b$
224	105	$105 = -3a + 4b$
105	14	$14 = 7a - 9b$
14	7	$7 = -52a + 67b$
7	0	—

故 $\gcd(1001, 777) = 7 = -52 \times 1001 + 67 \times 777$。

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6. Bézout 恒等式与推论

Theorem (Bézout's Identity). $\gcd(a, b)$ 可以写成 $a$ 和 $b$ 的整数线性组合：存在 $s, t \in \mathbb{Z}$ 使得 $\gcd(a, b) = sa + tb$。

Corollary 1. 整数 $m$ 可以写成 $a, b$ 的 ILC $\iff$ $\gcd(a, b) \mid m$。

Proof. ($\Rightarrow$) 任何 ILC 是 $\gcd(a,b)$ 的倍数。($\Leftarrow$) 设 $m = k\cdot\gcd(a,b)$，由 Bézout 得 $\gcd(a,b) = sa+tb$，故 $m = (ks)a+(kt)b$。$\blacksquare$

Corollary 2. $\gcd(a, b)$ 是 $a, b$ 所有正 ILC 中最小的。

Proof. 所有 ILC 恰好是 $\gcd(a,b)$ 的所有倍数，$\gcd(a,b)$ 是其中最小正整数。$\blacksquare$

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7. 关键术语速查

英文	中文
Divisibility / $a \mid b$	整除性
Divisor / Factor	因子
Multiple	倍数
Integer linear combination (ILC)	整数线性组合
Greatest common divisor (GCD)	最大公因子
Division Theorem	带余除法定理
Quotient / Remainder	商 / 余数
Euclid's Algorithm	欧几里得算法
Extended Euclidean Algorithm / Pulverizer	扩展欧几里得算法 / 辗转相除法
Bézout's Identity	Bézout 恒等式

我的理解