Lec 18 概率论导论

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 有限概率模型由样本空间和每个结果的概率组成，事件是样本空间的子集，事件概率是其中结果概率之和。
• 概率树必须列出完整的随机过程，边上写条件概率，根到叶的概率相乘，互斥叶结果的概率相加。
• 蒙提霍尔问题中主持人知道奖品位置且必定打开空门，这个信息机制使换门胜率为 $2/3$，不是两扇剩余门各 $1/2$。

1. 概率论的重要性

概率论是科学中最重要的学科之一，广泛应用于：

• 随机算法（Miller-Rabin、6.1210、6.1220、6.5220）
• 博弈论（Game Theory）
• 信息论（Information Theory）
• 信号处理、密码学、机器学习、医学、统计学、法证学

核心观点： 直觉往往不可靠，应抛弃直觉，回归严格的逐步分析。

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2. 蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）

问题描述： 三扇门，一扇后是汽车，另两扇后是山羊。选择一扇门后，主持人打开另一扇有山羊的门，此时换门是否有利？

建模假设（公理）：

• 奖品等概率地在三扇门中的任意一扇后面
• 参赛者等概率地选任意一扇门
• 主持人必须打开一扇未被选中且有山羊的门
• 若主持人有两扇门可选，则各以 $1/2$ 的概率打开其中一扇

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3. 树图法（Tree Method）

第 0 步：明确问题

精确数学问题："换门后赢得奖品的概率是多少？"

第 1 步：样本空间（Sample Space）

定义（离散概率空间）： 一个离散概率空间（discrete probability space）是一个二元组 $(S, \Pr)$，其中：

• $S$ 是一个非空可数集，称为样本空间（sample space）
• $\Pr: S \to [0, 1]$ 是一个满足 $\sum_{\omega \in S} \Pr[\omega] = 1$ 的全函数，称为概率函数（probability function）

定义（结果）： $S$ 中的元素 $\omega \in S$ 称为一个结果（outcome）。

样本空间可以简洁地表示为：

$S = {(x, y, z) \in {A, B, C}^3 : z \neq x \land z \neq y}$

第 2 步：概率函数

各边的概率（条件概率）：

• 最左层（奖品位置）：各边概率为 $1/3$
• 中间层（选门）：各边概率为 $1/3$
• 最右层（主持人开门）：概率为 $1$（只有一扇可选）或 $1/2$（有两扇可选）

每个结果 $\omega$ 的概率 $\Pr[\omega]$ 等于从根到 $\omega$ 路径上各边概率之积。

第 3 步：事件（Event）

定义（事件）： 样本空间的子集 $A \subseteq S$ 称为一个事件（event）。

示例：

• $[\text{换门赢}] = {(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)}$

第 4 步：计算答案

定义（事件的概率）： 事件 $A$ 的概率定义为： $\Pr[A] := \sum_{\omega \in A} \Pr[\omega]$

换门赢的 6 个结果中，每个概率均为 $1/9$，因此：

$\Pr[\text{换门赢}] = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

结论：换门有利，赢的概率为 $2/3$。

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4. 奇异骰子（Strange Dice）与非传递性

三种骰子面数：

• 红色：${2, 6, 7}$
• 绿色：${1, 5, 9}$
• 蓝色：${3, 4, 8}$

定义（均匀概率空间）： 若概率函数 $\Pr$ 是常数函数，则称概率空间 $(S, \Pr)$ 为均匀的（uniform）。均匀空间中计算概率只需计数。

各组对比结果

对比	胜者	概率
红 vs 绿	红	$5/9$
绿 vs 蓝	绿	$5/9$
蓝 vs 红	蓝	$5/9$

非传递性（*Non-transitivity*）： 红胜绿、绿胜蓝，但蓝胜红！"胜"关系不必是传递的，直觉在此失效。因此后手玩家始终可以选择克制先手骰子的那个，以 $5/9$ 的概率获胜。

掷两次时的反转

若每人掷两次取总和，均匀空间共有 $81$ 个结果：

$\Pr[\text{红赢}] = \frac{37}{81}, \quad \Pr[\text{红输}] = \frac{42}{81}$

掷一次时红胜绿，但掷两次时绿胜红——非传递性顺序反转！

我的理解