Lec 4 状态机、不变量与终止性

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 状态机由状态集、初始状态与转移关系组成，可达性问题询问是否存在一条从初始状态到目标状态的转移序列。
• 不变量在初始状态成立，且每次合法转移都保持它；因此任何不满足不变量的状态都不可达。
• 证明过程终止时，可构造一个值域下有界且每步严格下降的导出量（势函数），排除无限转移链。

一、引例：8 拼图问题

初始状态：

1 2 3
4 5 6
8 7 *

目标状态：

1 2 3
4 5 6
7 8 *

问题： 仅通过将相邻方块滑入空格，能否从初始到达目标？
答案： 不能。我们将用不变量原理证明这一点。

二、状态机 (State Machine)

8 拼图的状态机模型：

• 状态：棋盘的所有排列（共 $9!$ 种）
• 初始状态：$12345687*$
• 转移：将一个方块滑入空格

三、可达性与不变量

有一种用于证明“状态不可达性”的强大技巧，称为“不变量原理（Invariant Principle）”。它本质上是数学归纳法在状态机上的一种应用。从抽象角度看，这个思想非常简单。

若 $P(\cdot)$ 对初始状态为真，且 $P(\cdot)$ 是保持谓词，则 $P(\cdot)$ 是不变量。

Proof. 设 $Q(n)$：执行序列 $s_0, s_1, \ldots, s_n$ 中 $P(s_i)$ 对所有 $i$ 成立。用归纳法：

• Base case：$P(s_0)$ 由假设成立。
• Inductive step：$s_0,\ldots,s_n$ 满足 $Q(n)$，故 $P(s_n)$ 成立；由保持性，$P(s_{n+1})$ 也成立。$\blacksquare$

证明：假设状态 s 是可达的，那么根据不变式定义， P(s) 必须为真。 但我们已知 P(s) 为假，矛盾，因此 s 不可达$\blacksquare$

四、8 拼图的不可解性证明

4.1 计数逆序对

Definition. 序列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 中，逆序对是满足 $i < j$ 且 $a_i > a_j$ 的下标对 $(i,j)$。逆序对的数目称为逆序对数目（number of inversions）。

例如：

• 序列 1 2 3 4：没有逆序对
• 序列 1 3 2 4：有 1 个逆序对（2,3）
• 序列 4 1 3 2：有 4 个逆序对

现在考虑 8-puzzle 的棋盘配置。我们可以把棋盘映射为一个 1 到 8 的数字序列， 将棋盘排列删去 * 后得到序列。 那么现在问题是：

当我们在滑动拼图时，这个序列中的逆序对数量会发生什么变化？

• 水平移动：不改变序列，逆序对数目不变。
• 垂直移动：* 跳过同行的两格，序列中某三个相邻元素 $a_i, a_{i+1}, a_{i+2}$ 循环移位为 $a_{i+2}, a_i, a_{i+1}$。该操作恰好改变两对下标的逆序状态，逆序对数目变化量为偶数（$\Delta \in \{-2, 0, +2\}$）。

关键结论： 任何合法移动不改变逆序对数目的奇偶性。

4.2 应用不变量

定义谓词 $P(s)$：状态 $s$ 对应序列的逆序对数目为奇数。

• $P$ 是保持谓词（上述分析）。
• 初始状态 $12345687$ 的逆序对数目为 1（奇数），故 $P(s_0)$ 为真。
• 由不变量原理，$P$ 是不变量：所有可达状态的逆序对数目均为奇数。

目标状态 $12345678$ 的逆序对数目为 0（偶数），$P$ 为假，故目标状态不可达。$\blacksquare$

五、终止性

到目前为止，我们已经看到如何使用状态机和不变式来讨论“可达性”。

状态机的另一个重要性质是：终止性（termination）。

直观来说，这意味着：

如果你不断运行这个状态机，无论每一步如何选择转移，最终都会到达一个终态。

5.1 导出变量法 / 势函数法

• $f$ 严格递减（strictly decreasing）：每次转移 $s \to t$ 均有 $f(t) < f(s)$。

• $f$ 弱递减（weakly decreasing）：每次转移 $f(t) \leq f(s)$。

Proof idea. 若不终止则存在无限执行，对应自然数的无限严格递减序列，矛盾，因为自然数中不存在无限严格递减序列。$\blacksquare$

5.2 应用：简单排序算法的终止性

算法（Simple Sort）： 对序列 $a_1, \ldots, a_n$，反复找相邻逆序对 $(a_i, a_{i+1})$（$a_i > a_{i+1}$）并交换，直到不存在逆序对为止。

状态机模型：

• 状态：输入序列的所有排列（permutations）
• 初始状态：给定的序列
• 转移：根据算法描述的相邻交换
• 终态：完全有序的序列

Claim. 所有终态均已排好序。（习题：用归纳法证明）。终态恰好是：

对所有 i，都满足 $a_i \le a_{i+1}$

Proof. 取势函数 $f(s) =$ 当前序列的逆序对数目（自然数值）。
每次交换一对相邻逆序对 $(a_i, a_{i+1})$，该对从逆序变为顺序，逆序对数目恰好减少 1（其余对不受影响）。故 $f$ 严格递减，由定理知算法终止。$\blacksquare$

额外结论： 算法步数恰好等于初始序列的逆序对数目，至多为 $\dfrac{n(n-1)}{2}$。

7. 关键术语速查

英文	中文
State machine	状态机
Deterministic / Non-deterministic	确定性 / 非确定性
Execution	执行（序列）
Reachable state	可达状态
Preserved predicate	保持谓词
Invariant	不变量
Invariant Principle	不变量原理
Inversion	逆序对
Final state	终态
Termination	终止性
Derived variable / Potential function	导出变量 / 势函数
Strictly / Weakly decreasing	严格 / 弱递减

我的理解