Lec 2 反证法与数学归纳法

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 证明方法应当跟随命题的逻辑形式：存在命题需要构造见证，全称命题需要对任意对象论证，蕴含可用直接法或逆否法。
• 反证法假设待证命题的否定，并从中推出矛盾；关键是说清矛盾与哪个既知事实或公理冲突。
• 数学归纳法用基础情况和归纳步骤覆盖无限多个自然数命题；归纳假设必须足以推出下一个实例。

一、逻辑推导规则

⊢ 为 推导符号 / 证明符号（turnstile）

常用推导规则：

名称	形式
肯定前件推理	$P \implies Q,\; P ;\vdash; Q$
否定后件推理（通过否定结果来否定前提）	$P \implies Q,\; \neg Q ;\vdash; \neg P$
传递性	$(P \implies Q) \land (Q \implies R) ;\vdash; P \implies R$
反证规则	$(\neg P \implies \text{false}) ;\vdash; P$

证明书写规范：

• 每步推导必须清晰，注明所用已有命题
• 避免恐吓式证明（"Obviously…"、"Clearly…"、”显然成立“）
• 基础数学事实可直接使用，无需逐条引公理

二、基本证明技术

2.1 存在性证明

证明 $\exists x \in S.; P(x)$：直接构造一个满足条件的具体值。

Example. $\exists n \in \mathbb{N},\; n \geq 10 \text{ and isPrime}(n)$。

Proof. 取 $n = 17$，17 是质数且 $17 \geq 10$。$\blacksquare$

2.2 普遍性证明

如果我们要对一个集合中的所有元素证明某个结论，就不能只靠一个例子。

证明 $\forall x \in S.; P(x)$：引入任意元素 $x \in S$（不作任何额外假设），证明 $P(x)$。

Example. $\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 - 6x > -10$。

Proof. 设 $x$ 为任意实数，则 $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \geq 0$，故 $x^2 - 6x \geq -9 > -10$。$\blacksquare$

2.3 证明蕴含式：直接法

证明 $P \implies Q$：假设 $P$ 为真，推导出 $Q$。

Example. 若 $n$ 是 10 的倍数，则 $n$ 是 2 的倍数。

Proof. 设 $n = 10k$，则 $n = 2(5k)$，故 $n$ 是 2 的倍数。$\blacksquare$

2.4 证明蕴含式：逆否证明法

证明 $P \implies Q$ 等价于证明 $\neg Q \implies \neg P$。

Example. 若 $n^2$ 为偶数，则 $n$ 为偶数。

Proof. 证明逆否：若 $n$ 为奇数，则 $n^2$ 为奇数。设 $n = 2k+1$，则

$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

为奇数。$\blacksquare$

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三、反证法

证明 $P$：假设 $\neg P$，从 $\neg P$ 推出矛盾（contradiction）$\bot$，则 $P$ 成立。

本质上是推导规则 $(\neg P \implies \text{false}) \vdash P$ 的应用，又称间接证明（indirect proof）。

Example. $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$。

Proof by contradiction. 假设 $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$，写成最简分数 $\sqrt{2} = a/b$（$\gcd(a,b)=1$）。

$a^2 = 2b^2 \implies a^2 \text{ 为偶数} \implies a \text{ 为偶数}$

设 $a = 2c$，代入得 $4c^2 = 2b^2 \implies b^2 = 2c^2 \implies b$ 为偶数。

$a, b$ 均为偶数，与 $\gcd(a,b) = 1$ 矛盾。$\Rightarrow\Leftarrow$ $\blacksquare$

四、证明大纲

思路： 在真正动手推导之前，先根据命题的逻辑形式机械地拆解证明目标。

Example. 定理：$\forall n \in \mathbb{Z},\; F(n) \iff B(n+1)$。

Proof Outline:
  取任意整数 n；需证 F(n) iff B(n+1)。
  
  方向一：假设 F(n) 为真，[TODO: 证明 B(n+1)]
  方向二：假设 B(n+1) 为真，[TODO: 证明 F(n)]

只要命题形式明确，无需了解 $F, B$ 的含义就能写出大纲。

五、数学归纳法

设 $P(n)$ 为关于 $n \in \mathbb{N}$ 的谓词。若

1. $P(0)$ 为真（base case）；
2. $\forall n \in \mathbb{N},\; P(n) \implies P(n+1)$（inductive step）；

则 $\forall n \in \mathbb{N},\; P(n)$。

归纳步骤中，"假设 $P(n)$ 为真"称为归纳假设（induction hypothesis, IH）。

5.1 标准示例

Example. $\forall n \in \mathbb{N},\; 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$。

Proof by induction.

Base case ($n = 0$)：LHS $= 0$，RHS $= 0$。✓

Inductive step： 设 $P(n)$ 成立（IH），则

$\sum_{i=0}^{n+1} i = \underbrace{\sum_{i=0}^{n} i}_{= n(n+1)/2 \text{ by IH}} + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

即 $P(n+1)$ 成立。由归纳原理，$P(n)$ 对所有 $n \in \mathbb{N}$ 成立。$\blacksquare$

5.2 强化归纳假设

有时原命题直接作为 IH 无法推进，需要加强（strengthen）。

Insight. 更强的归纳假设 $\Rightarrow$ 归纳步骤的起点更强，反而更容易证明。

Example. $2^n \times 2^n$ 棋盘（去掉任意一格）可用 L 形三格骨牌（L-tromino）无重叠覆盖。

• 弱 IH $P(n)$："可覆盖 $2^n \times 2^n$ 棋盘，去掉中心附近某格"——归纳步骤无从推进。
• 强 IH $Q(n)$："可覆盖 $2^n \times 2^n$ 棋盘，去掉任意一格"。

Proof of $Q(n)$ by induction.

Base case ($n=0$)：只有 1 格，去掉后无需覆盖。✓

Inductive step： 设 $Q(n)$ 成立。对 $2^{n+1} \times 2^{n+1}$ 棋盘，设去掉格子 $(i,j)$ 在左上象限。在棋盘正中放一块 L 骨牌，覆盖其余三象限各一格；再对四个 $2^n \times 2^n$ 子棋盘分别应用 $Q(n)$，各去掉一格（左上去 $(i,j)$，其余去已被骨牌覆盖的格）。$\blacksquare$

结论： $Q(n) \implies P(n)$，故 $P(n)$ 对所有 $n$ 成立。

关键在于找到合适的 IH，这是一个技巧性很强的过程

六、关键术语速查

英文	中文
Inference rule	推导规则
Modus Ponens / Tollens	假言推论 / 拒取式
Proof by contradiction	反证法
Indirect proof	间接证明
Mathematical induction	数学归纳法
Base case	基础步骤
Inductive step	归纳步骤
Induction hypothesis (IH)	归纳假设
Strengthen the IH	强化归纳假设

我的理解