Lec 16 计数技巧

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 除法法则适用于每个目标对象都被同样多个表示对象对应的情形；如果重数不一致，就不能直接整体相除。
• 组合数 $\binom nr$ 计数从 $n$ 个不同对象中选出 $r$ 个的无序子集，由有序选择数除以 $r!$ 得到。
• 复杂扑克牌型等问题需先选择一个不重不漏的分类或构造顺序，再使用乘法、加法或补集计数。

1. 规则回顾

• 乘法法则： $|A_1 \times \cdots \times A_n| = |A_1| \cdots |A_n|$，用于"且"关系。
• 双射法则： 若 $f: A \to B$ 是双射，则 $|A| = |B|$。
• 加法法则： 若 $A_1, \ldots, A_n$ 两两不相交，则 $|A_1 \cup \cdots \cup A_n| = |A_1| + \cdots + |A_n|$，用于"或"关系。
• 广义乘法法则： 每步选择数量固定（不依赖之前选择的具体内容）时，总数为各步选择数之积。

广义乘法法则反例： 求三位递增序列的数量时，第二位的选择数依赖第一位，因此不能直接用。

排列： 集合 $S$ 的一个排列是包含 $S$ 中每个元素恰好一次的序列。若 $|S| = n$，则共有 $n!$ 个排列。

---

2. 除法法则（Division Rule）

定义： 若 $f: A \to B$ 是全函数，且每个 $b \in B$ 恰好有 $k$ 个原像，则称 $f$ 是 $k$ 对 1 映射，此时 $|B| = |A| / k$。

例（圆桌骑士）： $n$ 位骑士围圆桌就座，旋转等价的座位视为相同。设 $P$ 为所有排列的集合（$|P| = n!$），$C$ 为所有不同圆形排列的集合。每种圆形排列对应恰好 $n$ 种线性排列（旋转），故这是 $n$ 对 1 映射，$|C| = n!/n = (n-1)!$。

---

3. 组合数 $\binom{n}{r}$

问题： 从 $n$ 个元素中选 $r$ 个元素的子集，共有多少种方式？

推导：

1. 先选有序序列：$n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$ 种。
2. 每个大小为 $r$ 的子集对应 $r!$ 个有序序列（所有排列）。
3. 由除法法则，子集数为 $\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}$。

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!\,r!} \quad \text{（读作“$n$ 选 $r$”）}$

例：

• 从 350 人中选 4 名志愿者：$\binom{350}{4}$ 种。
• 从 15 种配料中选 3 种披萨配料：$\binom{15}{3}$ 种。
• 抛 100 枚硬币，恰好 50 正 50 反的序列数：$\binom{100}{50}$（约占全部 $2^{100}$ 种结果的 8%）。

回到递增序列问题： 从 ${0,1,\ldots,9}$ 中选 3 个数字组成递增序列，等价于选一个大小为 3 的子集（选好后按升序排列即可），答案为 $\binom{10}{3} = 10!/(3!\cdot 7!)$。

---

4. 用序列/方案构造计数

方法论： 将目标对象的构造过程分解为一系列选择步骤，用广义乘法法则计数。

必须验证：

1. 每组选择都产生集合中的一个对象。
2. 集合中的每个对象恰好对应一种选择序列（是双射）。

若不是双射而是 $k$ 对 1，则用除法法则修正。

---

4.1 扑克手牌计数基础

标准牌组：13 个点数（A, 2, ..., 10, J, Q, K）× 4 种花色 = 52 张牌。

一手牌 = 5 张牌的子集。总手牌数：$\binom{52}{5}$。

4.2 四条（4 of a Kind）

构造方案： 序列 $(R, C)$，其中 $R$ 是四条的点数，$C$ 是另一张不同点数的牌。手牌由 ${R\clubsuit, R\heartsuit, R\diamondsuit, R\spadesuit, C}$ 确定。

验证双射：

• 每个 $(R, C)$ 都产生一手四条牌？✓
• 每手四条牌恰好对应一个 $(R, C)$？✓

由广义乘法法则：$13 \times 48 = 624$ 种。

4.3 四种花色齐全

错误方案： 依次选四种花色各自的点数再选一张多余牌，共 $13^4 \times 48$ 种——但这不是双射！手牌 ${6\diamondsuit, Q\heartsuit, A\spadesuit, 2\clubsuit, J\spadesuit}$ 可由两种方式构造（哪张黑桃算"多余牌"有歧义），实际上是 2 对 1，故答案为 $13^4 \times 48 / 2$。

正确方案（避免歧义）：

1. 选有两张牌的花色 $S$（另三种花色按字母序排为 $T_1, T_2, T_3$）：4 种选法。
2. 选 $S$ 对应的两个点数 ${R_a, R_b}$：$\binom{13}{2}$ 种。
3. 为 $T_1, T_2, T_3$ 各选一个点数：$13^3$ 种。

每手牌恰好对应一种构造，是双射，无需再除。

4.4 至少一对（At Least One Pair）

直接构造的困难：

方案"选对子点数 + 选两张花色 + 选其余 3 张"并非双射——多对牌的手牌可以由多种不同顺序构造，且对应的重复次数还不固定（普通对子 2 次、三条 3 次、两对 4 次……），无法用简单的除法法则修正。

正确做法：补集计数。

先计算没有对子的手牌数：

1. 选 5 个不同点数的集合 ${r_1 < r_2 < r_3 < r_4 < r_5}$：$\binom{13}{5}$ 种。
2. 为每个点数独立选一种花色：$4^5$ 种。

无对子手牌数 $= \binom{13}{5} \times 4^5$。

至少有一对的手牌数 $= \binom{52}{5} - \binom{13}{5} \times 4^5 \approx 49.3$ 的全部手牌。

我的理解