Lec 10 动态规划：高级 DP（Dynamic Programming: Advanced DP）

TL;DR

• 区间 DP 拓扑序范式：从简单前缀/后缀状态空间跃迁至区间子问题 $D(i, j)$，按区间长度 $len = j - i + 1$ 递增构造填表拓扑序。
• 最长回文子序列（LPS）：利用端点字符匹配决策，在 $O(n^2)$ 状态内实现 $O(1)$ 转移，完美规避暴力指数爆炸。
• 最优二叉搜索树（Optimal BST）：在搜索期望深度最小化目标下，通过全区间权重和 $W(i, j)$ 巧妙抵偿子树下沉增量深度，以 $O(n^3)$ 穷举根节点完成区间划分。
• 交替取硬币博弈（Minimax DP）：奇偶下标和证明先手必胜策略的存在性，结合我方极大化收益与理性对手极小化留存的对抗递推，以 $O(n^2)$ 精确锁定博弈最优收益。

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区间动态规划思维范式

在初阶动态规划中，子问题通常由单个前缀下标 $i$ 决定（例如一维背包、最长上升子序列）。而在高级算法设计中，大量问题呈现出两端收缩或区间分裂的结构特征：

• 问题的子结构作用于闭区间 $[i, j]$ 上；
• 状态转移依赖于该区间两端的单步选择，或枚举区间内部的分割点 $k \in [i, j]$；
• 填表拓扑序不再能简单地按单向递增推进，而必须按照**区间长度（Span）**从小到大依次求解。

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经典问题 1：最长回文子序列（LPS）

状态设计与转移方程

定义子问题 $L(i, j)$ 为子串 $X[i..j]$ 内的最长回文子序列长度（$1 \le i \le j \le n$）：

1. 区间长度为 1（$i = j$）：单个字符自身即为回文，递归基 $L(i, i) = 1$；
2. 两端字符匹配（$X[i] = X[j]$）：
   • 若 $i + 1 = j$，两个相同字符构成长度为 2 的回文，$L(i, j) = 2$；
   • 若 $i + 1 < j$，两端字符可同时纳入回文外壳，内部求解 $X[i+1..j-1]$： $$L(i, j) = 2 + L(i+1, j-1)$$
3. 两端字符不匹配（$X[i] \neq X[j]$）：两端点不可能同时存在于同一个回文子序列中，决策退化为分别舍弃左端或右端，取二者较大值： $$L(i, j) = \max\big(L(i+1, j), \, L(i, j-1)\big)$$

复杂度分析

• 子问题总数：所有满足 $1 \le i \le j \le n$ 的数对共有 $\binom{n}{2} + n = \Theta(n^2)$ 个；
• 单状态计算代价：仅需常数次比较与取最大值操作，耗时 $O(1)$；
• 空间与时间复杂度：总时间为 $\Theta(n^2)$，使用二维矩阵存储中间结果，空间复杂度为 $\Theta(n^2)$（使用滚动数组可压缩至 $O(n)$）。

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经典问题 2：最优二叉搜索树（Optimal BST）

给定包含 $n$ 个互异有序键的序列 $K_1 < K_2 < \dots < K_n$。每个键 $K_i$ 被检索的概率（或权重）为 $p_i > 0$，满足 $\sum_{i=1}^n p_i = 1$。 构造一棵包含这 $n$ 个键的二叉搜索树 $T$，使得在树中的期望查找代价最小化。

若键 $K_i$ 在树中的深度为 $\mathrm{depth}_T(K_i)$（根节点深度设为 0，即访问根节点代价为 1 次比较），则目标函数为：

$$\text{Minimize } \mathrm{Cost}(T) = \sum_{i=1}^n p_i \cdot \big(\mathrm{depth}_T(K_i) + 1\big)$$

直觉上，高频词汇应当尽量靠近根节点以减少检索层数。

贪心策略的失效分析

能否贪心地选取当前权重最大的键 $K_r$ 作为根节点？

反例：考虑三个键，权重分别为 $p_1 = 0.45, p_2 = 0.50, p_3 = 0.05$。

• 若贪心选择权重最大的 $K_2$ 为根，左子树为 $K_1$，右子树为 $K_3$，期望代价为 $0.50 \times 1 + 0.45 \times 2 + 0.05 \times 2 = 1.50$；
• 若选择 $K_1$ 为根，$K_2$ 为右孩子，$K_3$ 为 $K_2$ 的右孩子，代价为 $0.45 \times 1 + 0.50 \times 2 + 0.05 \times 3 = 1.60$；
• 但若有更极端的深层分布，贪心选择极高局部权值会导致其余众多中等权值键整体下沉，反例表明局部贪心无法兼顾全局树形平衡。

动态规划转移方程与增量深度累加

定义区间 $[i, j]$ 的权值总和为：

$$W(i, j) = \sum_{k=i}^j p_k$$

设 $e(i, j)$ 为由有序键子集 $\{K_i, K_{i+1}, \dots, K_j\}$ 构成的最优二叉搜索树的最小期望代价。

若在区间 $[i, j]$ 中枚举选取 $K_r$（$i \le r \le j$）作为该子树的根节点：

• 左子树包含键集合 $\{K_i, \dots, K_{r-1}\}$，其在局部最优树中的代价为 $e(i, r-1)$；
• 右子树包含键集合 $\{K_{r+1}, \dots, K_j\}$，其在局部最优树中的代价为 $e(r+1, j)$；
• 当这两个子树挂载在根节点 $K_r$ 之下时，子树中所有节点的深度相比其局部深度均增加了 1！

深度每增加 1，对应键 $K_k$ 的期望代价增量正好增加 $1 \times p_k$。因此所有左右子树节点带来的深度增量总和恰好等于：

$$\sum_{k=i, k \neq r}^j p_k$$

连同根节点自身贡献的代价 $p_r \times 1$，全部节点贡献的总增量恰好等于全区间权重和 $W(i, j)$！

由此得到极为优雅的转移方程：

$$e(i, j) = \begin{cases} 0 & (i > j) \\ p_i & (i = j) \\ \min_{i \le r \le j} \Big( e(i, r-1) + e(r+1, j) \Big) + W(i, j) & (i < j) \end{cases}$$

复杂度分析

• 子问题个数：$O(n^2)$ 个区间；
• 每个状态需要枚举 $r \in [i, j]$ 找到极小值，单状态转移耗时 $O(n)$；
• 整体算法运行时间为 $\Theta(n^2) \times \Theta(n) = \Theta(n^3)$（注：利用 Knuth 优化四边形不等式性质，可将最优分割点单调性约束在 $opt[i, j-1] \le opt[i, j] \le opt[i+1, j]$，进一步优化至 $\Theta(n^2)$）。

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经典问题 3：交替取硬币博弈（Minimax DP）

先手必胜的存在性：奇偶染色策略

证明： 将硬币按初始下标分为奇数位集合 $\{V_1, V_3, \dots, V_{n-1}\}$ 与偶数位集合 $\{V_2, V_4, \dots, V_n\}$。 计算两集合的和：$S_{\text{odd}} = \sum_{k=1}^{n/2} V_{2k-1}$ 与 $S_{\text{even}} = \sum_{k=1}^{n/2} V_{2k}$。

• 若 $S_{\text{odd}} \ge S_{\text{even}}$，先手第一步取走最左端的奇数位硬币 $V_1$；此时留给后手的最左端 $V_2$ 与最右端 $V_n$ 均为偶数位硬币！
• 后手无论取走 $V_2$ 还是 $V_n$，暴露给先手的两端必将再次包含一个奇数位硬币。
• 先手在后续每一步始终只选取奇数位硬币，最终能全揽全部奇数位硬币，获得 $S_{\text{odd}} \ge \frac{1}{2} \sum V_i$ 的总面值。同理若 $S_{\text{even}} > S_{\text{odd}}$，先手第一步取 $V_n$ 亦可全揽所有偶数位硬币。

极大化极小（Minimax）收益 DP

上述奇偶贪心仅能保证获得不低于一半的底线，无法最大化博弈收益。如何在面对超级理性的对手时获取最大的绝对面值？

定义子问题 $V(i, j)$ 为当前轮到我方行动，且台面上剩余硬币为区间 $V_i, \dots, V_j$ 时，我方所能获得的最大最终面值：

1. 决策分支 1：我方取左端 $V_i$
   • 剩余区间为 $[i+1, j]$，轮到理性对手行动；
   • 对手若取左端 $V_{i+1}$，留给下一轮我方的区间为 $[i+2, j]$，我方收益为 $V(i+2, j)$；
   • 对手若取右端 $V_j$，留给下一轮我方的区间为 $[i+1, j-1]$，我方收益为 $V(i+1, j-1)$；
   • 对手是超级理性的，必然选择使我方后续收益极小化的走法，因此留给我方的价值为： $$\min\big(V(i+2, j), \, V(i+1, j-1)\big)$$
   • 我方此分支的总期望收益为 $V_i + \min(V(i+2, j), V(i+1, j-1))$。
2. 决策分支 2：我方取右端 $V_j$
   • 类似地，对手将在 $V_{i+1}$ 与 $V_{j-1}$ 间做对抗选择，留给我方： $$\min\big(V(i+1, j-1), \, V(i, j-2)\big)$$
   • 我方此分支的总期望收益为 $V_j + \min(V(i+1, j-1), V(i, j-2))$。

我方在两大分支中选取最大者，最终转移方程为：

$$V(i, j) = \max \begin{pmatrix} V_i + \min\big(V(i+2, j), \, V(i+1, j-1)\big) \\ V_j + \min\big(V(i+1, j-1), \, V(i, j-2)\big) \end{pmatrix}$$

边界条件：

• $V(i, i) = V_i$
• $V(i, i+1) = \max(V_i, V_{i+1})$

复杂度分析

状态总数仍然为 $\Theta(n^2)$ 个数对 $(i, j)$，每个状态的转移仅涉及常数次 $\min$ 与 $\max$ 运算（耗时 $O(1)$）。整体算法复杂度严格为 $\Theta(n^2)$。

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我的理解

高级动态规划向我们展现了“状态定义即算法”的最高境界：

1. 空间几何的降维投影：无论是回文子序列的两端夹逼，最优二叉树的中间斩断，还是硬币博弈的边缘剥落，它们的核心都是将一个全局非线性的组合搜索问题，严格约束在二维平面右上半三角矩阵的区间拓扑上。
2. 增量代数的妙用：最优二叉树中“左右子树全体深度加 1”看似难以跟踪，但通过全区间概率和 $W(i, j)$ 的一次性加总，直接将微观深度的累加提炼为宏观权重的整块平移。这一设计思路在霍夫曼编码、矩阵链乘法中一脉相承。
3. 零和博弈与动态规划的天然接轨：交替硬币游戏是博弈论与 DP 的交汇点。极大极小交替展开本质上是博弈树的自底向上倒后归纳法（Backward Induction），通过两层嵌套的 $\max-\min$ 算子，在多项式时间内完美封死了理性博弈对手的所有反制路径。 :::