Lec 1 课程概览与区间调度（Overview & Interval Scheduling）

TL;DR

• 计算复杂性全景：区分多项式时间可解的 P 类、多项式时间可验证的 NP 类，以及最难的 NP 完全问题（NPC）。
• 无权区间调度：基于“最早完成时间优先”（Earliest Finish Time First）策略，通过拟置换法（Exchange Argument）严格证明贪心解的全局最优性。
• 带权区间调度：贪心选择失效后转为动态规划（DP），结合二分搜索查找前驱兼容区间，将复杂度由 $O(n^2)$ 优化至 $O(n \log n)$。
• 区间划分与多机器调度：区间深度（Depth）构成了资源需求的刚性理论下界，按开始时间排序的贪心着色策略能以恰好 $d$ 台机器完成全量无冲突调度。

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计算复杂性导引：P、NP 与 NP 完全性

在算法设计中，极为相似的问题描述可能对应天壤之别的计算复杂度：

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无权区间调度与贪心选择

问题形式化定义

给定单个共享资源与 $n$ 个请求构成的集合 $R = \{r_1, r_2, \dots, r_n\}$。每个请求 $r_i = [s(i), f(i))$ 包含起始时间 $s(i)$ 与结束时间 $f(i)$，满足 $s(i) < f(i)$。

若两请求 $i, j$ 互不重叠，即 $f(i) \le s(j)$ 或 $f(j) \le s(i)$，则称它们是兼容的（Compatible）。

• 优化目标：选出一个两两兼容的请求子集 $S \subseteq R$，使得子集规模 $|S|$ 最大。

贪心启发式规则尝试与反例分析

贪心算法每次依据局部启发式准则选择一个区间 $i$，剔除所有与其冲突的重叠请求，直到无可用区间。核心在于选取何种选择规则：

1. 尝试 1：最早开始时间优先（Minimum $s(i)$）

   • 反例：若存在一个超长区间跨越全局（例如 $[0, 100)$），但内部存在数十个短区间，优先选择最早开始者将导致其余所有短区间被拒绝。

2. 尝试 2：最短持续时间优先（Minimum $f(i) - s(i)$）

   • 反例：短区间可能横跨两个非重叠区间之间的间隙，导致选 1 弃 2。

   

3. 尝试 3：最少冲突次数优先（Minimum Incompatible Count）

   • 反例：在特定结构中，选择当前局部冲突最小的区间，可能会破坏后续多组更大规模的无冲突序列。

   

4. 尝试 4：最早完成时间优先（Earliest Finish Time First）

   • 策略：在当前候选集合中，选择 $f(i)$ 最小的请求。直觉在于：越早结束，为后续保留的可用时间窗口就越大。

贪心最优性数学证明

证明（归纳法与置换论证 Exchange Argument）：

1. 基本情况：当 $k^* = 1$ 时，由于至少可选 1 个，贪心解 $k \ge 1$，故 $k = 1 = k^*$ 显然成立。

2. 归纳假设：假设对于任意最优规模为 $k^*$ 的子问题，贪心算法均能返回最优解。

3. 归纳步骤：考虑规模为 $k^* + 1$ 的最优调度序列 $S^*$：

   $$S^* = \langle j_1, j_2, \dots, j_{k^*+1} \rangle$$

   贪心算法第一步选取的区间为 $i_1$。根据贪心选择准则：

   $$f(i_1) \le f(j_1)$$

   由于 $j_1$ 仅与 $S^*$ 中的自身冲突，且 $j_2$ 的起始时间满足 $s(j_2) \ge f(j_1) \ge f(i_1)$，因此区间 $i_1$ 与 $j_2, j_3, \dots, j_{k^*+1}$ 全部兼容！

   我们构造新调度 $S^{**}$：

   $$S^{**} = \langle i_1, j_2, j_3, \dots, j_{k^*+1} \rangle$$

   $S^{**}$ 依然由 $k^* + 1$ 个两两兼容的区间组成，故 $S^{**}$ 亦为最优调度。

   现在定义剩余问题空间 $L' = \{r \in R \mid s(r) \ge f(i_1)\}$。因为 $S^{**}$ 在全局最优，所以其后继序列 $\langle j_2, \dots, j_{k^*+1} \rangle$ 必须是子问题 $L'$ 的最优调度（规模为 $k^*$）。

   根据归纳假设，贪心算法在 $L'$ 上必定能找到规模为 $k^*$ 的解。由于贪心算法在选定 $i_1$ 后正是严格在 $L'$ 上继续执行并产出 $\langle i_2, \dots, i_k \rangle$，因此：

   $$k - 1 = k^* \implies k = k^* + 1$$

   证毕。

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带权区间调度与动态规划

当每个请求带有独立权值 $w(i) > 0$ 时，贪心准则立刻失效（极早结束的区间可能权值极微，而略长区间收益极高）。此时须转用动态规划（Dynamic Programming）。

子问题形式化与状态转移

将请求集合按结束时间升序预排序：$f(1) \le f(2) \le \dots \le f(n)$。

对每个请求 $j$，定义其前驱兼容区间索引 $p(j)$：

$$p(j) = \max \{i < j \mid f(i) \le s(j)\} \quad (\text{若不存在则 } p(j) = 0)$$

对于第 $j$ 个区间的子问题 $\mathrm{OPT}(j)$，决策仅有两种：

1. 不选第 $j$ 个区间：收益为 $\mathrm{OPT}(j-1)$；
2. 选择第 $j$ 个区间：获得收益 $w(j)$，其前面不可包含任何重叠区间，因此前置最优只能延伸至 $p(j)$，总收益为 $w(j) + \mathrm{OPT}(p(j))$。

状态转移方程如下：

$$\mathrm{OPT}(j) = \max\Big(\mathrm{OPT}(j-1), \, w(j) + \mathrm{OPT}(p(j))\Big)$$

边界条件为 $\mathrm{OPT}(0) = 0$。

复杂度优化：从 $O(n^2)$ 到 $O(n \log n)$

• 若每次线性查找 $p(j)$，计算前驱需要 $O(n)$，状态计算总耗时为 $O(n^2)$。
• 由于所有区间按结束时间 $f(i)$ 有序排列，利用**二分搜索（Binary Search）**查找满足 $f(i) \le s(j)$ 的最大下标只需 $O(\log n)$。
• 排序耗时 $O(n \log n)$，预处理所有 $p(j)$ 耗时 $O(n \log n)$，DP 填表耗时 $O(n)$，整体运行时间严格控制在 $O(n \log n)$。

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区间划分与多机器调度

若任务无法丢弃，但允许多台相同的机器并行处理，如何使用最少的机器容纳所有请求？

显然，任何调度方案至少需要 $d$ 台机器（因为在重叠峰值处有 $d$ 个互不兼容的请求必须同时占用不同机器）。

贪心着色算法

1. 将所有请求按起始时间递增排序：$s(1) \le s(2) \le \dots \le s(n)$；
2. 依次遍历每个区间 $i$：
   • 检查已有机器中是否存在当前空闲的机器（即机器上最后一个区间的结束时间 $\le s(i)$）；
   • 若存在，分配至该机器；
   • 若所有机器均处于忙碌状态，开辟一台新机器并分配给区间 $i$。

证明： 假设算法分配了第 $k$ 台机器给区间 $i$。这意味着在考虑区间 $i$ 时，已存在的 $k - 1$ 台机器全部处于忙碌状态，即每台机器上都有一个区间的结束时间晚于 $s(i)$。同时，由于所有区间是按起始时间遍历的，这 $k - 1$ 台机器上的活动区间起始时间必然 $\le s(i)$。

因此，在时刻 $s(i)$，连同区间 $i$ 本身在内，共有至少 $k$ 个区间彼此重叠并覆盖时刻 $s(i)$。根据深度的定义，必然有 $d \ge k$。又因为算法终止时最大机器编号不会超过任何时刻检测到的重叠数，故最大机器数 $\le d$。二者结合得到所需机器数恒等于 $d$。

使用优先队列（小根堆）维护每台机器的最早可用时间，整体算法复杂度为 $O(n \log n)$。

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我的理解

区间调度是领悟“算法策略谱系”的最经典切片：

1. 贪心选择的本质是空间压缩：无权区间调度之所以可以用贪心解决，是因为所有区间的收益权值完全等价，算法只需在时间轴上“尽可能紧凑地排列”，最早完成时间优先就是让未决时间资源最大化的保全策略。
2. 权值打破拟阵，DP 接管全局：一旦引入权重，局部极早完成不再蕴含全局最优，局部贪心彻底失效。此时必须利用区间单向演进的时间箭头建立子问题拓扑序，动态规划通过“选或不选”的完备分支与二分查找，在多项式时间内穷尽了状态演化路径。
3. 资源扩容的对偶之美：单机器调度关注“在固定资源下最大化吞吐”，多机器调度关注“在固定需求下最小化资源”。区间深度 $d$ 既是下界障碍，又是按起始时间贪心所能达到的精确上界，体现了组合优化中强对偶定理的雏形。 :::