Lec 2 分治法：中位数查找与凸包（Divide & Conquer: Median Finding & Convex Hull）

TL;DR

• 分治范式与递推：分治法三步曲（划分、递归求解、合并），通过主定理精确界定递归树深度与各层工作量的平衡关系。
• 确定性线性选择（BFPRT）：通过“五分中位数”（Median of Medians）选定主元，确保每次递归至少剪除 $3/10$ 的搜索空间，实现 $T(n) \le T(n/5) + T(7n/10) + O(n) = O(n)$ 的严格最坏线性时间。
• Karatsuba 大整数乘法：巧妙利用一次代数恒等变形将 4 次半长整数乘法降为 3 次，将经典多项式乘法复杂度由 $O(n^2)$ 打破至 $O(n^{\log_2 3}) \approx O(n^{1.585})$。
• 凸包分治构造：平面点集按横坐标二分，递归求得左右凸包后，通过双指针双向旋转在 $O(n)$ 时间内找到公切线合并，达到与基于排序下界匹配的 $O(n \log n)$ 复杂度。

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分治法核心范式与主定理

分治（Divide and Conquer）是算法设计中最基础且强大的思维范式之一，标准执行流程包含三个阶段：

1. 分解（Divide）：将原问题划分为若干规模较小但结构相同的子问题；
2. 解决（Conquer）：递归求解各个子问题。当子问题足够小时直接求解（递归基）；
3. 合并（Combine）：将各个子问题的解答合并为原问题的完整解。

主定理（Master Theorem）

对于形如 $T(n) = a T(n/b) + f(n)$ 的递归式（其中 $a \ge 1, b > 1$ 为常数），设临界指数为 $\log_b a$：

• 情况 1（叶节点支配）：若存在 $\epsilon > 0$ 使得 $f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$，则 $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$；
• 情况 2（各层均衡）：若 $f(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log^k n)$（$k \ge 0$），则 $T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log^{k+1} n)$；
• 情况 3（根节点支配）：若存在 $\epsilon > 0$ 使得 $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ 且满足正则性条件，则 $T(n) = \Theta(f(n))$。

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中位数与顺序统计量：确定性线性时间选择（BFPRT）

问题定义

若先对全量元素排序再按索引访问，时间复杂度为 $O(n \log n)$。若采用快速选择算法（QuickSelect），通过随机选取主元（Pivot）期望可在 $O(n)$ 内完成，但最坏情况下仍可能退化至 $O(n^2)$。

能否在最坏情况下依然保证 $O(n)$ 确定性时间？Blum、Floyd、Pratt、Rivest 与 Tarjan 在 1973 年给出了划时代的 BFPRT 算法。

算法步骤与五分中位数策略

为了防止快速排序划分时出现极端倾斜，算法必须确定性地构造出一个“足够居中”的主元 $x$：

1. 分组：将 $n$ 个元素划分为 $\lfloor n/5 \rfloor$ 个大小为 5 的子组，若有剩余（$n \bmod 5$ 个元素），单独作为一组；
2. 求组内中位数：对每个大小为 5 的子组进行排序（每组至多 7 次比较，耗时 $O(1)$），取出每组的中位数，共得到 $\lceil n/5 \rceil$ 个中位数；
3. 递归求中位数的中位数：递归调用选择算法，找出这 $\lceil n/5 \rceil$ 个组内中位数的中位数，记为主元 $x$；
4. 主元划分：以 $x$ 为基准将原集合划分为三个集合：
   • $L = \{y \in S \mid y < x\}$
   • $E = \{y \in S \mid y = x\}$
   • $G = \{y \in S \mid y > x\}$
5. 递归分支收敛：
   • 若 $i \le |L|$，则在 $L$ 中递归寻找第 $i$ 小元素；
   • 若 $|L| < i \le |L| + |E|$，直接返回 $x$；
   • 若 $i > |L| + |E|$，则在 $G$ 中递归寻找第 $i - |L| - |E|$ 小元素。

空间剪枝与复杂度推导

证明： 考虑步骤 2 中获得的全部组内中位数。在这 $\lceil n/5 \rceil$ 个中位数中，至少有一半（即 $\frac{1}{2}\lceil n/5 \rceil \ge \frac{n}{10}$ 个）小于等于 $x$。 在每一个中位数小于等于 $x$ 的 5 元组中，除了该组中位数自身之外，还有 2 个元素小于等于该中位数，因而至少有 3 个元素小于等于 $x$。

排除掉主元自身所在组以及可能不足 5 个元素的剩余组，严格小于等于 $x$ 的元素数量至少为：

$$3 \left( \left\lceil \frac{1}{2} \left\lceil \frac{n}{5} \right\rceil \right\rceil - 2 \right) \ge 3 \left( \frac{n}{10} - 2 \right) = \frac{3n}{10} - 6$$

同理，严格大于等于 $x$ 的元素数量也至少为 $3n/10 - 6$。

由此可得，在最坏情况下，进入步骤 5 递归的子问题规模上限为：

$$\max(|L|, |G|) \le n - \left( \frac{3n}{10} - 6 \right) = \frac{7n}{10} + 6$$

递归式求解：为什么必须是 5？

整体算法的运行时间递归关系为：

$$T(n) \le T\left(\left\lceil \frac{n}{5} \right\rceil\right) + T\left(\frac{7n}{10} + 6\right) + O(n)$$

我们使用代入法证明 $T(n) \le c n$。设常数项满足 $O(n) \le c_0 n$：

$$T(n) \le c \left(\frac{n}{5} + 1\right) + c \left(\frac{7n}{10} + 6\right) + c_0 n = c \left(\frac{9n}{10} + 7\right) + c_0 n = c n - \left( \frac{c n}{10} - 7c - c_0 n \right)$$

只要取足够大的常数 $c$（例如当 $n \ge 140$ 时），括号内项恒为正，即可保证 $T(n) \le c n = O(n)$。

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大整数乘法：Karatsuba 算法

给定两个各包含 $n$ 位的大整数 $A$ 与 $B$，计算乘积 $A \times B$。经典逐位相乘算法需要 $O(n^2)$ 次位运算。

将两数按二进制高低位拆半：

$$A = 2^{n/2} X + Y, \quad B = 2^{n/2} W + Z$$

展开式包含 4 个规模为 $n/2$ 的子乘法：

$$A \times B = 2^n (XW) + 2^{n/2} (XZ + YW) + (YZ)$$

若直接递归，递推关系为 $T(n) = 4T(n/2) + O(n)$。由主定理，$n^{\log_2 4} = n^2$，并未改善复杂度。

巧妙的恒等式变换

1962 年，苏联数学家 Anatoli Karatsuba 发现交叉项可以通过一次乘法与减法复用求得：

$$XZ + YW = (X + Y)(W + Z) - XW - YZ$$

因此，只需递归计算 3 次半长乘法：

1. $P_1 = XW$
2. $P_2 = YZ$
3. $P_3 = (X + Y)(W + Z)$ 交叉项即为 $P_3 - P_1 - P_2$。

递归式转变为：

$$T(n) = 3T(n/2) + O(n)$$

应用主定理，临界指数为 $\log_2 3 \approx 1.585$。因此：

$$T(n) = \Theta(n^{\log_2 3}) \approx \Theta(n^{1.585})$$

这一跨越标志着代数复杂度突破二次瓶颈的里程碑，并进一步启发了基于 FFT 的 Schönhage-Strassen 算法。

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计算几何：二维凸包的分治构造

分治法求解步骤

1. 预排序：将全部点按 $x$ 坐标递增排序（若 $x$ 相同则按 $y$ 坐标递增），耗时 $O(n \log n)$；
2. 二分划分：取中位数垂线，将点集平分为左半部分 $A$ 与右半部分 $B$；
3. 递归求解：分别递归求出 $\mathrm{CH}(A)$ 与 $\mathrm{CH}(B)$；
4. 公切线合并：在 $O(n)$ 时间内寻找连接两凸包的上公切线与下公切线，并删除被切线包围的内部点链。

双指针寻找公切线

以求上公切线为例：

• 分别从 $A$ 中最右侧的点 $u$ 与 $B$ 中最左侧的点 $v$ 开始，连接线段 $(u, v)$；
• 检查线段 $(u, v)$ 是否位于凸包上方：
  • 若 $A$ 中存在点位于有向线段 $(u, v)$ 上方，将 $u$ 沿 $A$ 的逆时针方向移动一步；
  • 若 $B$ 中存在点位于有向线段 $(u, v)$ 上方，将 $v$ 沿 $B$ 的顺时针方向移动一步；
  • 重复上述交替检查与单调旋转，直到线段 $(u, v)$ 完全悬空在两凸包之上。

由于凸多边形的凸性，每个顶点在旋转过程中至多被访问常数次，寻找公切线的时间为 $O(|A| + |B|) = O(n)$。

渐近复杂度

合并步骤仅需线性时间，故递归式为：

$$T(n) = 2T(n/2) + O(n) = O(n \log n)$$

由于平面凸包问题可通过反向归约将数值排序嵌入其中（$x_i \mapsto (x_i, x_i^2)$），在基于比较的模型下，凸包计算的复杂度下界为 $\Omega(n \log n)$，因此分治算法达到理论最优渐近界。

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我的理解

分治算法不仅是“拆分子问题递归”，其精髓在于重塑合并与剪枝的代数结构：

1. 主定理指导下的几何平衡：BFPRT 算法告诉我们，只要能以线性代价确定性地丢弃常数比例（哪怕只是 $3/10$）的候选集，几何级数衰减就会以 $1/(1-c)$ 的形式将整体复杂度锁定在线性。
2. 乘法与加法的代价置换：Karatsuba 的伟大之处在于洞察了加法与乘法计算成本的异构性——位加法是 $O(n)$，而位乘法是 $O(n^2)$。牺牲两次廉价的线性加法来削减一次昂贵的二次乘法，使得分治树的分支因子从 4 降至 3。
3. 几何拓扑的单调性支撑：凸包合并之所以能在线性时间内收敛，核心在于凸性的“极角单调性”。分治保证了左右点集在空间上的天然分离，公切线查找如同滑动双指针，将原本难以处理的全局凸包更新降维至局部邻域的切线逼近。 :::