Lec 10 深度优先搜索

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• DFS 沿一条未访问边尽可能深入，再回溯处理其他分支；整个遍历依然只需 $O(|V|+|E|)$ 时间。
• 对所有未访问顶点启动 DFS 可得到一片森林，并用完成顺序揭示连通性与依赖结构。
• 有向图在无环时，顶点按 DFS 退出时间的逆序构成拓扑序；遇到指向当前递归栈的边则证明存在环。

背景： 可到达性问题

策略：设 P(s) = None， 然后运行 visit(s)

visit(u):
	for every v ∊ Adj(u):
		if P(v) = None:
			Set P(v) = u
			Call visit(v)

DFS

• 类似于 BFS，从 s 开始搜索图
• 解决单源可达性问题，而不是单源最短路径问题（sP）
• 返回指向 s 的父指针树
• 思路是： 递归访问出边的邻接顶点，但不重新访问同一个顶点，即沿着任何路径前进直到无法前进，然后回溯直到找到一条未探索的路径继续探索

正确性证明

• 断言： DFS 访问顶点 v 并正确设置 P(v)，对于从 s 可达的每个顶点 v 都成立
• 证明： 对 k 进行归纳，只对距离 s 为 k 的顶点进行断言
  • 基本情况（k=0）: P(s) 被正确设置为 s 并被 s 访问
  • 归纳步骤，考虑顶点 v 满足$\delta(s, v) = k' + 1$
  • 考虑顶点 u，即从 s 到 v 的某条最短路径上的倒数第二个顶点（即 v 前一个顶点）
  • 根据归纳假设，由于$\delta(s,u) = k'$, DFS 访问 u 并正确设置 P(u)
  • 在访问 u 时，DFS 考虑$v \in Adj(u)$要么已经在 P 中，已被访问（即 P(u) $\ne$ null)，要么 v 会在访问 u 时被访问，无论那种情况, v 都被 DFS 访问并正确添加到 P 中

分析

• 算法最多访问每个顶点一次，并且对于每个顶点$v \in Adj(u)$ 只花费 O(1)时间
• 工作量的上界为$\sum_{u∈V}O(1)×deg(u)=O(∣E∣)$
• 不同于 BFS， DFS 并不返回每个顶点的距离，因此 DFS 的运行时间为 O(|E|)

全量 BFS/DFS

• 假设我们想要搜索整个图，而不仅仅是从一个顶点可达的顶点
• 思路是，对任务未访问的顶点重复执行图搜索算法 A
• 重复以下步骤，知道所有顶点都被访问
  • 选择一个未访问的顶点 s，使用 A 搜索从 s 可达的所有顶点
• 我们称这个算法为 Full-A 算法
• 每个顶点访问一次，所以 Full-BFS 和 Full-DFS 的运行时间均为 O(|V|+|E|)

图的连通性

• 一个无向图是连通的，如果图中每对顶点之间都有一条路径连接。
• 在有向图中，顶点 u 可能从顶点 v 可达，但 v 可能从 u 不可达。
• 对于有向图，连通性更加复杂（我们在本课中不会讨论）。
• Connectivity(G)：无向图 G 是否连通？
• Connected Components(G)：给定无向图 G = (V, E)，返回 V 的划分为子集 $V_i \subseteq V$（连通分量），其中每个 $V_i$ 在 G 中是连通的，并且不同连通分量的顶点之间没有边。
• 考虑一个解决单源可达性问题的图算法 A。
• 断言：A 可以用来解决连通分量问题。
• 证明：运行 Full-A。对于每次运行 A，将访问到的顶点放入一个连通分量中。

拓扑排序

• 有向无环图（DAG，Directed Acyclic Graph）是一个不包含有向环的有向图
• 图 G = (V, E) 的拓扑排序是对顶点的一个排序，使得每条边$(u, v) \in E$满足 $f(u) \lt f(v)$
• 拓扑排序不是唯一的。
• 证明一个有向图， 当且仅当它是一个 DAG 时，才存在拓扑排序。（练习）
• 如何找到拓扑排序？
  • 结束顺序是全量 DFS 完成访问每个顶点的顺序
  • 断言： 如果 G=(V, E)是一个 DAG，则结束顺序的逆序是一个拓扑排序
  • 证明： 需要证明对每条边而言， u 被排到 v 之前，即访问 v 完成的时间在访问 u 之前。分两种情况
    • 如果 u 在 v 之前被访问
      • 在访问 u 完成之前，会访问 v（通过边（u, v）或者其他方式）。
      • 因此访问 v 完成的时间在访问 u 之前
    • 如果 v 在 u 之前被访问
      • 由于图是无环的，u 不能从 v 过来
      • 因此访问 v 完成的时间在 u 之前

循环检测

如果图 G=(V, E)是无环的，Full-DFS 将找到一个拓扑排序，那如果 Full-DFS 的逆结束顺序不是拓扑排序，则 G 必定包含一个环。

• 检查 G 是否无环： 对于每条边（u, v），检查在逆结束顺序中，v 是否在 u 之前
• 可以通过哈希表或者是直接访问数组在 O(|E|)时间内完成
• 要返回这样的一个环，在 Full-DFS 中维护路径上回到 s 的前驱集合
• 断言： 如果 G 包含一个环，Full-DFS 将遍历从 v 到 v 的前驱的边
• 证明： 考虑 G 中有一个环$(v_0, v_1, ... v_k, v_0)$
  • 不失一般性地，假设$v_0$是 Full-DFS 在环上访问的第一个顶点，对于每个$v_i$，在访问$v_i$完成之前，将访问$v_{i+1}$并完成访问，考虑边$(v_i, v_{i+1})$，如果$v_{i+1}$尚未被访问，他将访问被现在访问。因此在访问$v_0$完成之前，将第一次访问$v_k$（根据对$v_0$的假设），所以在访问$v_k$完成之前，将考虑边$(v_k, v_0)$，其中$v_0$是$v_k$的前驱

我的理解