Lec 12 Bellman–Ford 算法

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 在没有可达负权环时，任意最短路径都可选为至多含 $|V|-1$ 条边的简单路径。
• Bellman–Ford 按“最多使用 $k$ 条边”组织动态规划，重复扫描所有边，在 $O(|V||E|)$ 时间内求得单源最短路径。
• 在完成 $|V|-1$ 轮后仍能改善的可达边给出负权环见证，因而算法同时具备求解和拒绝无界实例的能力。

复习

给定无向图 G， 返回 G 是否包含负权重环？

Solution: 如果 G 中存在一条负权重边，则返回 Yes，时间复杂读 O(|E|)

因此本讲中，讨论限制为有向图。

给定运行时间为 O(|V|(|V| + |E|))的 SSSP 算法 A，展示如何在它 O(|V||E|)时间内解决 SSSP 问题。

Solution：

• 运行 BFS 或者 DFS 找到从 s 可达的顶点，时间复杂度为 O(|E|)

• 将每个 s 不可达的顶点标记为$\theta(s, v) = \infty$，时间复杂度为 O(|V|)

• 构建图 G’=(V', E')，其中仅包含从 s 可达的顶点，时间复杂度为 O(|V|+|E|)

• 在 G‘上从 s 运行 A

• G'是连通的，所以|V'| = O(|E'|) = (|E|)，因此 A 的运行时间是 O(|V||E|)

简单最短路径

• 如果图中包含环和负权重，可能会有负权重环
• 如果图中不包含负权重环，则最短路径是简单的
• 断言 1：如果$\delta(s, v)$是有限的，则存在一条道 v 的简单路径。
• 证明： 通过反证法
  • 假设没有简单的最短路径，设$\pi$为具有最少顶点的简单路径
  • $\pi$不是简单路径，所以$\pi$中存在环 C； C 具有非负权重（否则$\delta(s, v) = -\infty$)
  • 去掉$\pi$中的 C 形成路径$\pi'$，其顶点更少且权重 w($\pi'$) $\le$ w($\pi$)
• 由于简单路径不能重复顶点，有限的最短路径最多包含|V| - 1 条边。

负权重环见证者

• k-edge 距离$\delta_k(s, v)$: 从 s 到 v 使用不超过 k 条边的任意路径的最小权重
• 思路： 计算所有的$v\in V$的$\delta_{|V|-1}(s, v) 和 \delta_{|V|}(s, v)$
  • 如果$\delta(s,v) \neq -\infty$则$\delta(s,v) = \delta_{|V|-1}(s, v)$， 因为最短路径是简单的（或者不存在）
  • 如果$\delta_{|V|}(s, v) \lt \delta_{|V|-1}(s, v)$
    • 存在一条更短的非简单路径 v，所以$\delta_{|V|}(s, v) = -\infty$
    • 成 v 为（负环）见证者
    • 但是可能存在最短路径权重为$-\infty$但不是见证者的顶点
• 断言 2： 如果$\delta(s,v) = -\infty$，则 v 可从一个见证者到达
• 证明： 只需证明： 从 s 可到达的每个负权重环都包含一个见证者
  • 考虑一个从 s 可到达的负权重环 C
  • 对于 C 中的每个顶点 v，令 v'为 v 在 C 中的前驱，其中$\sum_{v∈C}w(v′,v)<0$
  • 则$\delta_{|V|}(s, v) \leq \delta_{|V|-1}(s, v') + w(v', v)$（右边为某条不超过|V|个顶点的路径的权重
  • 所以$\delta_{|V|}(s, v) \leq \delta_{|V|-1}(s, v') + w(v', v) \lt \delta_{|V|-1}(s, v)$
  • 如果 C 中不包含见证者，则对所有$v\in C$，满足$\delta_{|V|}(s, v) \ge \delta_{|V|-1}(s, v)$，这就产生了矛盾

Bellman-Ford 算法

原始的 Bellman-Ford 算法较为简单，但是功能稍弱。它仅使用 O(|V|)的空间，以相同的时间复杂度解决 SSSP 问题，但是只能检测负权环是否存在。它基于松弛框架。算法很直接，首先初始化距离估计，然后再图中进行$|V| - 1$轮松弛操作。这个算法的主张是，如果图中不存在负权环，在算法结束时，对于所有的顶点$v\in V$， 有$d(s, v) = \delta(s,v)$，否则，如何仍有任何边可松弛，则图中包含一个负权环

def bellman_ford(Adj, w, s):
  # 初始化
	infinity = float('inf')
  d = [infinity for _ in Adj]
  parent = [None for _ in Adj]
  d[s], parent[s] = 0, s
  V = len(Adj)
  for k in range(V-1):
    for u in range(V):
      for u in Adj(u):
        try_to_relax(Adj, w, d, parent, u, v)
  for u in range(V):
    for v in Adj[u]:
      if d[v] > d[u] + w(u, v):
        raise Exception('Ack! There is a negative weight cycle!')
  return d, parent

该算法的总体结构与通用的松弛范式相同，但吸纳值了可以处理边的顺序。具体来说，算法在$|V| - 1$轮次中，松弛了图中的每条边，以下引理证明了该算法的正确性。

【引理】在 Bellman-Ford 算法的第 i 轮松弛结束时，对于任意顶点 v，如果从 s 到 v 的最短路径经过至多 i 条边，那么$d(s, v) = \delta(s, v)$

证明： 对 i 轮的归纳证明。 在算法开始时，唯一从 s 出发且经过至多 0 条边的顶点是 s，基本情况成立，假设在第$i-1$轮结束时命题成立。令 v 是从 s 到 v 的最短路径经过至多 i 条边的顶点。如果 v 有一条经过至多 i - 1 条边的最短路径，那么在第 i 轮之前 $d(s, v) = \delta(s,v)$，并且在第 i 轮结束时仍然成立，这依据是上界性质

我的理解