Lec 17 动态规划 III：APSP、括号与钢琴指法

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• Floyd–Warshall 用“中间顶点只允许来自前 $k$ 个顶点”作为状态扩展，在 $\Theta(|V|^3)$ 时间求得 APSP。
• 区间动态规划把子串或子数组当作子问题，通过猜测最后一次分割或匹配位置组合更小区间。
• 钢琴指法把时间索引和当前手指组成状态，形成分层 DAG，路径成本则表示相邻指法转换的难度。

本讲导览

• Bellman-Ford SSSP
• Flayd-Wallshall APSP
• 算术括号问题
• 钢琴指法问题

单源最短路径：Bellman-Ford 算法

SRTBOT 分析：

• Subproblems

  • 扩展子问题，使其无环
  • $\delta_k(s, v) =$ 从 s 到 v 的最短路径权重， 最多使用 k 条边
  • for $v ∊V$ & $0 <= k <= |V|$

• Relate

  • $𝛿\_k(s, v) = \min \left\{𝛿\_{k-1}(s, u) + w(u, v) | u ∊ Adj(v) \right\} ∪ {𝛿_{k-1}(s, u)}$

  • guessing "lost edge(u, v) on shortest s->v path"

观察到，𝛿_k(s, v) = 𝛿_{k-1}(s, u) + w(u, v)，这个递归不存在循环。如果随着 k 增长，都是满足上述等式，

• Topological order: increasing k

Topo order of G

• Base case: 𝛿_{0}(s, s) = 0 , 𝛿_{0}(s, v) = ∞ for v ≠ s

• Original: 𝛿_{|v| -1}(s, v) for v ∊ V: 𝛿_{|v|}(s,v) for neg-weight cycle detection

• Time:

  • 子问题数目：$|V| \times (|V| + 1)$
  • 每个子问题的工作量$\delta_k(s, v): O(deg_{in}(v))$
  • 总的时间：$\sum^{|V|}_{k=0}\sum_{v \in V}O(|deg_{in}(v)|) = \sum^{|V|}_{k=0}O(|E|) = O(|V|·|E|)$

全源最短路径: Floyd-Warshall 算法

弗洛伊德演算法。

顶点标上序号 1, 2, ... |V|

• subprobs: d(u, v, k) = u->v 最短路径的权重，其中仅用到在集合{u, v} ∪ {1, 2, ...,k}的顶点 for u, v ∊ V & 0 <= k <= |V|, θ(|V|^3)

• Relate: d(u, v, k) = $\min \left\{d(u, v, k-1), d(u, k, k-1) + d(k, v, k-1)\right\}$

  • u --(1,...,k-1)---> v (第一种情况，不需要使用 k).即 k ∉SP
  • u --(k-1)--->k, k ---(k-1)--->v, 即 k ∊SP

• topo: increasing k, for k = 0, 1, ... |v| for u ∉ V for v ∊V

• Base: S(u, v, 0) =

  1. 0 if u = v ;
  2. w(u,v) if (u, v) ∊ E
  3. ∞ otherwise

  并且假设没有负权重环

• Orignialfeas

钢琴指法问题

问题描述：

给定序列$t_0, t_1, ...t_{n-1}$ 单音符，用右手弹奏，右手手指分别是 1,2，...，f，给定过渡从音符 t 及其手指 f，到音符 t'及其手指 f'的难度度量$d(t, f, t', f')$

• 如果$1 \lt f \lt f'$ 且 $t > t'$，则是不舒适的
• 连续（平滑）演奏要求 $t = t'$ （否则罚分是无限大）
• 弱指规则，尽量避免使用 $f' \in \left\{4, 5\right\}$
• $\left\{f, f'\right\} = \left\{3, 4\right\}$ 是令人烦恼的

目标： 为音符分配手指，以最小化总难度

第一次尝试 SRTBOT 分析：

• Subproblem

  • x(i) = 最小化的演奏难度分，弹奏音符为$t_i, t_{i+1}, ..., t_{n-1}$

• Relate

  • 猜测第一个手指， 给$t_i$ 分配 f 手指
  • $x(i) = \min \set {x(i+1) + d(t_i, f, t_{i+1}, ?) | 1 \le f \le F}$
  • 没有足够的信息来填写 ？
  • 问题
    • 需要知道在开始$x(i+1)$时使用哪个手指
    • 不同的起始手指可能会影响 $x(i + 1)$ 和 $d(t_i, f, t_{i+1}, ?)$ 的结果
  • 解决方案
    • 需要一个表来映射起始手指到$x(i+1)$的最优解
    • 也就是说，需要通过起始条件来扩展子问题

最终解决方案 SRTBOT 分析：

• Subproblem

  • $x(i, f)$ 最小化的演奏难度分，弹奏音符为$t_i, t_{i+1}, ..., t_{n-1}$，并且手指 f 在字符$t_i$
  • For $0 \le i \lt n$ 且 $1 \le f \le F$

• Relate

  • 猜测下个手指： 将 f' 分配给 $t_{i+1}$
  • $x(i, f) = \min \left\{x(i+1, f') + d(t_i, f, t_{i+1}, f') | 1 \le f' \le F\right\}$

• 拓扑顺序

  • 逐步减小 i （任何 f 顺序）

• Base

  • $x(n-1, f) = 0$ 没有转换

• Original

  • $\min \left\{x(0, f) | 1\le f \le F\right\}$

• Time

  • Θ(n · F) subproblems
  • Θ(F) work per subproblem
  • $Θ(n · F^2)$

我的理解