Lec 18 动态规划 IV：杆切割、子集和与伪多项式时间

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 杆切割按剩余长度定义子问题，猜测第一段长度后递归求余下部分，总时间为 $\Theta(L^2)$。
• 子集和以元素位置 $i$ 和剩余目标 $t$ 为状态，在“选当前数”与“不选”两个分支之间取布尔或，时间为 $O(nT)$。
• $O(nT)$ 对数值 $T$ 是多项式，但对表示 $T$ 所需的 $\log T$ 位可能是指数级，因而子集和算法只是伪多项式时间。

本讲导览

• 整数子问题
• 伪多项式时间
• 例子
  • 切割杆问题
  • 子集求和问题
• DP 特性复习

切割杆问题

• 给定一个长度为 L 的杆，和不同长度$\mathcal{l}$的杆的价值 v($\mathcal{l}$), $\mathcal{l} \in \left\{{1,2,...L}\right\}$

• 目标：切割杆最大化切割杆价值

• Ex: L = 7, v = [0, 1, 10, 13, 18, 20, 31,32]

• 贪心算法能获得最大价值吗？

  • 不一定！

SRTBOT 分析：

1. 子问题： $x(\mathcal{l})$: 切割长度$\mathcal{l}$的杆能获得的最大价值，对于$\mathcal{l} \in \left\{0, 1, ..L\right\}$成立

2. 递归关联子问题解：

   • 第一块为长度 p（猜的！）
   • $x(\mathcal{l}) = max \left\{v(p) + x(l-p) | p \in \left\{1..., \mathcal{l}\right\}\right\}$

3. 拓扑顺序

   • 对$\mathcal{l}$增长： 子问题$x(\mathcal{l})$仅仅取决于严格递减的$\mathcal{l}$，所以不会成环。for $\mathcal{l}$ = 0, 1..., L

   • 子问题的 DAG

4. 基本情况

   • x(0) = 0

5. 原始问题：

   • 长度为 L 的切割杆的最大价值是 x(L)

6. 时间分析

   • 子问题数量： L+1
   • 每个子问题的工作量： O($\mathcal{l}$) = O(L)
   • O($L^2$) 运行时间

$\Theta({L^2})$这是一个多项式时间吗？

• （强）多项式时间是指，运行时间被输入大小的常数次数多项式所界定，而输入大小以 word（字数）计算（这里例子中，因此这些数字都可以在机器字中存储）
• 在杆切割问题中，输入大小是 L + 1 字（一个整数 L 和 在价值函数 v 的 L 个整数 ）
• O(L²) 是 L + 1 的常数次数多项式，因此答案是：是的，（强）多项式时间

子集求和

• 输入： n 个正整数序列$A = \left\{a_0, a_1, ..., a_{n-1}\right\}$
• 输出： 是否在存在 A 的子集，使其求和恰好等于 T？即是否存在 A 的子集 A'，使得$\sum_{a\in A'}a = T$？
• Ex： A = (1, 3, 4, 12, 19, 21, 22), T = 47， 可以找到子集 A' = {3, 4, 19, 21}
• 这是个优化问题？
  • 不是，这是一个决策问题。答案是 YES or NO， True or False，而不是求最大值最小值这类优化问题。

SRTBOT 分析

1. 子问题:

   • $x(i, t)$ = A[i:]的子集求和为 t
   • $i \in \left\{0, 1, ...n\right\}$, $t \in \left\{0,1, ...T\right\}$

2. 递归关联子问题解：

   • 思路：第一项$a_i$ 是否在 A 合法子集 S 内（Guess！）
   • 如果是，用剩余项尝试求和成$t - a_i$
   • 如果不是，用剩余项尝试求和成 t
   • $x(i, t) = \begin{cases} x(i+1, t-a_i) \text{ if } a_i\le t \leftarrow a_i \in S \\ x(i+1, t) ，其他情况 \leftarrow a_i \notin S \end{cases}$

3. 拓扑顺序

   • 子问题 x(i, t)仅仅依赖更大索引的子问题 x(i+1, t)或者 x(i+1, t-A[i])
   • 解决问题可以按照 i 严格递减的顺序（即从大到小）

4. 基本情况

   • $x(n, t) = \begin{cases} Yes \text{ if t = 0} \\ No \text{ if } t \neq 0 \end{cases}$

5. 原始问题

   • x(0, T)

   • 解决所有子问题的 DAG

     • 至底向上

       

     • 至顶向下

       

6. 时间分析

   • 子问题数目 O(nT)， 每个子问题工作量为 O(1)，因此需要 O(nT)时间

这是多项式时间吗？

• 输入大小 n+1：整数 T 和 A 里面的 n 个整数
• O(nT)被 n+1 的多项式界定吗？
  • n 和 T 的关系未知，T 可能是 n，n^2
  • 在 w-bit 的 Word-RAM 模型， 已知$T \le 2^w$，$w\ge \log{n}$，但是可能 w >> log n，我们并不知道 w 的上界
    • e.g. w=n 也是不合理的，运行时间就成了$O(n2^n)$, 这是指数级的

伪多项式

• 算法的伪多项式时间：运行时间上界由输入大小和输入整数的常次数多项式界定
• 如果整数在输入大小上是多项式有界的，即$n^{O(1)}$（与基数排序在 $O(n)$ 时间内运行的情况相同），那么这种算法在这种情况下是多项式的
• 计数排序 O(n+u)，基数排序$O(n\log_n{u})$，直接访问数组构建 O(n+u)，斐波那契 O(n)都是伪多项式算法
• 计数排序是弱多项式（基于强多项式和伪多项式之间的概念）： 在以位数测量的输入大小（即输入整数的对数）上界由常数次多项式界定
• 与切割杆问题相比，它是多项式的
  • 对 L 有伪多项式以来
  • 但幸运的是也有 L 个输入整数
  • 如果仅给出可销售杆长度的子集（背包问题，它推广了杆切割和子集和问题——见课堂讨论），那么算法将仅是伪多项式的

复杂度

• 当整数不是多项式有界时，子集和问题可以在多项式时间内解决吗？
• 如果 P ≠ NP，则不行。那是什么意思？下节课再讲！

总结动态规划特性

• 如何定义子问题

  • 前缀、后缀问题：最大公共子序列，最大递增子序列

  • 子串问题： 交替硬币游戏，括号问题

  • 整数子问题：切割杆问题，子集和问题，斐波那契数列;

  • 多字符串问题：最大公共子序列

  • 顶点问题： SPS

  • 子问题约束/扩展

    • 非可扩展的限制： 最大递增子序列
    • 2x：交替硬币游戏，括号问题
    • θ(1)x: 钢琴指法问题
    • θ(x)x: Bellman-Ford

• 递归关联子问题（如果子问题定义是正确的，那么你可以写出一个递归关系）

  • θ(1) 分支: 斐波那契数列, 保龄球得分问题， LCS，ACG，Floyd–Warshall
  • θ(degree) 分支: DAG, Bellman-ford
  • θ(n) branching: LIS, 括号问题, rod cutting
  • combine multiple sulution(not path in DAG): Fib, FW,括号

• Original: combine multiple subprobs: DAG, LIS, B-F, F-W

我的理解