Lec 14 全源最短路径与 Johnson 算法

资料依据：课程视频与 transcript · Lecture notes

TL;DR

• 全源最短路径（APSP）可以对每个源点运行一次单源算法，但负边使我们不能直接使用 Dijkstra。
• Johnson 算法用一次 Bellman–Ford 计算势函数，把每条边重标为非负，同时保持所有路径的相对优劣。
• 重标后可从每个顶点运行 Dijkstra；结合二叉堆时总成本为 $O(|V||E|\log |V|)$，适合稀疏图。

复习 SSSP 算法

我们主要学写了 4 个解决 SSSP 问题的算法，要解决最短路径问题，首先要定义和构造与你的问题相关的图，然后用其中一种算法来解决你的问题。一般来说，你会尽量用最快的方法，Bellman-Ford 可以应用到任何加权图问题，但它是最慢的一个，因此我们会优选其他方法。

我们针对单源最短路径（SSSP）问题介绍了这些算法，但在此过程中，我们还展示了如何使用这些算法来解决其他问题。例如，我们可以使用全量深度优先搜索（Full-DFS）或全量广度优先搜索（Full-BFS）来计算图中的连通分量，使用深度优先搜索（DFS）对有向无环图（DAG）中的顶点进行拓扑排序，并使用 Bellman-Ford 算法检测负权重环。

全源最短路径 APSP

All-Pairs Shortest Paths(APSP)问题

• 输入：加权有向图 G=(V, E)，加权函数$w: E\rightarrow \mathbb{Z}$
• 输出：返回所有的$u, v \in V 的 \delta(u, v)$， 如果 G 存在负权重环则中止（因为对于任何一个$\delta(u, v) = -\infty$）。由此可以推断出，输出空间$O(|V|^2)$，因为需要知道每对顶点的加权最短路径
• 应用： 对于了解整个网络很有用，比如传输、电路 layout、供应链管理等
• 仅仅是用一个 SSSP 算法执行|V|次的效果也是挺好的，因为输出大小为$O(|V|^2)$
  • 当权值为正且受限于 O(|E|+|V|)时， 用 BFS 的时间复杂度是|V|·O(|V|+|E|)
  • 当图是 DAG 时，用 DAG 松弛的时间复杂度是|V|·O(|V|+|E|)
  • 当权重非负且图为无向图时，用 Dijkstra 算法的时间复杂度为|V|·O(|V|log|V|+|E|)
  • 对于一般情况用 Bellman-Ford 算法的时间复杂度为|V|·O(|V|·|E|)

方法

• 思路： 在保持最短路径性质的同时使得所有边权重非负。
• 也就是说， 将图 G 重新加权到图 G'，使得在 G 中的最短路径在 G'中也是最短路径，并且 G'中没有负权重。
  • 如果没有负权重边，那么只需要运行|V|次 Dijkstra 算法就可以解决 APSP 问题。
  • 为什么我们不需要考虑无向图？
    • 只需要检查每个边，如果有负权重，就代表有负权重环。线性时间即可
• 断言： 可以在 O(|V|(|V|+|E|))时间内从 G'中的距离计算出 G 中的距离
  • 对于每个$s \in V$，计算最短路径树的距离，时间复杂度为 O(|V| + |E|)
  • 这也是 G 中最短路径树，所以在计算距离的同时通过 DFS 遍历树
  • 需要 O(|V|(|V|+|E|))时间（比运行|V|次 Dijkstra 算法的时间少）
• 但是，如何使 G' 具有非负边权重呢？这甚至可能吗？
• 断言：如果 G 包含负权重环，则这是不可能的
• 证明：如果没有负权重，最短路径是简单的，但如果有负权重环的最短路径是无限的，不是简单路径。这样是矛盾。

是权重变非负

给定一个具有负权重但没有负权重环的图 G，我们能在保留最短路径的同时使边权重非负吗？

• 思路 1： 将 G 中最小权重的负值加到每条边上！所有权重都变成非负的！ :)

  • 这样做无法保留最短路径，这样会偏向与遍历更少边的路径，（因为它给每条边都加了一个补偿值，路径越长，则更改后路径更长，不公平！）

• 思路 2：给定顶点 v， 将 h 加到所有出边上，并从所有入边上减去 h

• 断言 1： 最短路径在上述重新加权下得以保留

  证明：

  • 以 v 为起点的每条路径的权重变化为 h
  • 以 v 为终点的每条路径的权重变化为 −h
  • 经过 v 的路径的权重（局部）不变

• 这是一个非常通用且很有用的技巧，在保留最短路径性质的前提下转换图形！甚至可以对多个顶点起作用

• 定义一个势函数$v: V \rightarrow \mathbb{Z}$，将每个顶点$v \in V$ 映射到一个势函数 h(v)

• 构造图 G'，与 G 相同，但边$(u, v) \in E$的权重为$w'(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v)$

• 断言 2: 在 G 中的最短路径在 G’中也是最短路径

  证明

  • G 中路径$\pi = (v_0, ..., v_k)$的权重$w(\pi) = \sum^k_{i=1}w(v_{i-1}, v_i)$
  • 在 G'中$\pi$的权重为$\sum^k_{i=1}(w(v_{i-1}, v_i)+ h(v_{i-1}) - h(v_i) )= w(\pi) + h(v_0) - h(v_k)$
    • 每个内部顶点 i 都有正负相抵的 $h(v_i)$
  • 从$v_0$到$v_k$的每条路径的权重变化相同
  • 因此，任何最短路径仍然是最短路径

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• 我们能否找到这样的势函数，使得 G'没有负权边？
• 即，能否存在一个 h 使得对于每个$(u, v) \in E$，都有$w(u, v) + h(u) - h(v) \ge 0$
  • 将这个条件重新排列为$h(v) \le h(u) + w(u, v)$，看起来像是三角不等式！
• 思路：如果将$h(v)设置为某个路径的\delta(s, v)$且 $\delta(s, v)$有限的，则条件将会满足
  • 但是图可能是不连通的，所以可能不存在这样的顶点 s
• 新办法： 添加一个新顶点 s， 并向每个$v\in V$添加一个权重为 0 的有向边，即添加新顶点 s 指向图中所有的顶点的边。
• 对于所有的$v\in V, \delta(s, v) \le 0$，因为存在权重为 0 的路径。
• 断言： 如果$\delta(s, v)=-\infty$对于任何$v\in V$成立，那么原图中一定有负权重环
• 证明
  • 添加 s 并不会引入新的环（s 没有入边）
  • 所以，如果重新加权后图有负权重环，则原图中也有
• 或者， 如果对于所有$v\in V, \delta(s, v)$有限：
  • 根据三角不等式， 对于每个$(u, v) \in E$， 有$w'(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v) \ge 0$
  • 重新加权后的 G‘中的新权重是非负的，同时保留了最短路径

Johnson's 算法

• 本质上是规约算法
  • 将权值可能是正或负 APSP 问题，规约成具有相同最短路径性质，且只有非负权重边的图问题
• 算法步骤

1. 从 G 构造$G_x$， 通过添加顶点 x 连接到每个顶点$v\in V$并设置权重为 0

2. 计算$\delta_x(x, v), for\ each\ v \in V$(使用 Bellman-Ford 算法)

3. 有两种情况

   1. if $\exist v\in V$， $\delta_x(x, v) = -\infty$:
      • 中止（因为 G 中存在负权重环）
   2. else: 重新加权每条边$w'(u, v) = w(u, v) + \delta_x(x, u) - \delta_x(x, v)$以形成图 G'

4. 对于每个$u\in V$:

   • 计算 G'中所有顶点 v 的最短距离$\delta'(u,v)$（使用 Dijkstra 算法）

   • 对于所有$v\in V$， 计算$\delta(u, v) = \delta'(u, v) - \delta_x(x, u) + \delta_x(x, v)$即可得到图 G 的关于顶点 u 的 SSSP 的解

正确性证明

• 已经证明从 G 到 G' 的转换保留了最短路径
• 剩下的归结为 Bellman-Ford 和 Dijkstra 算法的正确性
• 从带负数权值的 APSP 到非负的 APSP 的简化

时间复杂度分析

• 构造 $G_x$ 需要 O(|V| + |E|) 时间
• Bellman-Ford 算法需要 O(|V||E|) 时间
• 构造 G' 需要 O(|V| + |E|) 时间
• 运行 V 次 Dijkstra 算法需要 $O(|V| \cdot (|V| \log |V| + |E|))$时间
• 计算从 G' 中的距离到 G 中的距离需要 O(|V|^2) 时间
• 总时间复杂度为 $O(|V|^2 \log |V| + |V||E|)$

我的理解