Lec 6语义（导论）——操作语义与求值关系

讲义完成更新于 2026-09-16

承接Lec 5 · 语法分析 III — First 集与建树（Parsing：Systematic Predictive Parsing）

Lec 6 语义（导论）——操作语义与求值关系

Phase 2 开始。从"语法"转向"语义"：用求值关系 + 推理规则精确定义程序行为参考：Glynn Winskel, The Formal Semantics of Programming Languages（IMP 语言）

TL;DR

语法只规定程序的形状，语义必须进一步精确规定每个程序在给定状态下如何求值。
大步操作语义用「配置 ⇒ 结果」的求值关系和推理规则描述执行，前提对应递归调用，结论对应返回值或状态更新。
IMP 用帧表示变量到值的映射，为后续完整定义表达式、语句、堆与闭包提供最小语义核心。

1. 收尾：文法-自动机层级（Chomsky Hierarchy）

定义语言有两条对偶路线——文法（生成）与自动机（识别），二者对应。完整层级：

定义（四层文法与自动机）

文法	产生式形式	自动机
正则 (Regular)	$NT \to T \mid T\,NT$	有限状态自动机 FSA
上下文无关 (CFG)	$NT \to (T\mid NT)^*$	下推自动机 PDA（DFA + 栈）
上下文相关 (Context-Sensitive)	$\alpha X\beta \to \alpha Y\beta$（Y 非空）	线性有界图灵机 LBA
无限制 (Unrestricted)	$\alpha \to \beta$	图灵机 TM

PDA 配置 = 状态 + 栈 + 剩余输入，转移关系 $F: S\times(A\cup\{\varepsilon\})\times V \to S\times V^*$ 。

1.1 解析技术的命名 LL/LR(k)

定义（LL / LR(k) 命名法）

第一个字母：L 从左到右扫描（R 从右到左）；
第二个字母：L 最左推导（R 最右推导）；
(k)：前看字符数。

本课自顶向下讲的是 LL(1)（不左因子分解的 if-then/if-then-else 需 LL(3)）；自底向上（识别式）对应 LR(0) 等。

例题（超出 CFG 的"声明-使用"约束）

S → declare v ; S  |  use v ; S  |  ε

该 CFG 能生成 declare x; use x;，但无法表达"使用前必须声明"这类约束（use x 而未 declare x 在语法上仍合法）。这属于上下文相关层级，概念上对应语言的类型系统——也是为什么"语义检查"要在语法之外单独做。

无限制文法就对应"程序本身"（图灵机）——这把我们引向：如何规约程序的行为，即语义。

2. 什么是语义（Semantics）

语义给出程序行为的规格，标准同 L1：精确（足以产出实现）、完整（覆盖全部特性）、无歧义（合理解读同结果）、平衡（传达正确性、给实现留性能空间）。

例题（C/C++ 实参求值顺序未定义）

int x = 1;
int add2(){ x = x+2; return x; }
int mul2(){ x = x*2; return x; }
sum(add2(), mul2());

若先求 add2：add2→3、mul2→6、sum(3,6)=9；若先求 mul2：mul2→2、add2→4、sum(2,4)=6。两种都是合法解读——C/C++ 未规定实参求值顺序。语义必须明确到能消除（或有意保留）这种自由度。

3. 递归解释器：语义的"实现"直觉

一个朴素的树遍历解释器已经隐含了语义：

class Binop : public Expr { enum {PLUS,SUB,MUL,DIV} op; Expr *left,*right; };
int eval_expr(Frame* f, Expr* e);
int eval_binop(Frame* f, Binop* e) {
    switch(e->op){ case PLUS: return eval_plus(f,e); ... }
}
int eval_plus(Frame* f, Binop* e) {
    int n1 = eval_expr(f, e->left);
    int n2 = eval_expr(f, e->right);
    return n1 + n2;
}

这段代码"是"加法的语义，但用 C++ 写不够精确无歧义（依赖 C++ 自身语义、求值顺序等）。我们需要一种数学化、与实现语言无关的规格——操作语义 (operational semantics)。

4. IMP：一个简单的命令式语言

IMP（Winskel）含：赋值、if-then-else、顺序组合、while 循环。其语法分三类项：算术表达式 E、布尔表达式 B、语句 S。我们要为每一类给出语义。

4.1 帧与状态（Frames）

定义（帧 Frame）

帧 $f$ 是从变量到值的映射，表示程序某时刻的状态。如 x=1; y=2; z=3; 后 $f = \{x\mapsto1, y\mapsto2, z\mapsto3\}$ 。 $f(x)$ 取变量值， $f[x\mapsto n]$ 表示更新后的帧。

4.2 求值关系（Evaluation Relations）

定义（求值关系）

用求值关系定义每类项的语义，含义是"给定一个帧，该项求值到一个结果"：

表达式： $\langle e, f\rangle \Downarrow n$ （在帧 f 下，表达式 e 求值为整数 n）；
布尔表达式： $\langle b, f\rangle \Downarrow t$ （求值为 true/false）；
语句： $\langle s, f\rangle \Downarrow f'$ （语句把帧 f 变换为新帧 f'）。

这是大步操作语义 (big-step / natural semantics)：直接给出"项 + 初态 ⇒ 终态/值"。

关系基础：一个关系是有序对的集合（如 $R \subseteq \text{People}\times\text{People}$ ）；我们用推理规则来指定这个（通常无限的）关系。

5. 推理规则与结构归纳（Inference Rules）

推理规则形如"前提在线上、结论在线下"：

$\frac{\text{前提}_1 \quad \cdots \quad \text{前提}_n}{\text{结论}}$

无前提的规则是公理 (axiom)。整套规则按项的语法结构归纳定义关系——正是 L2 见过的结构归纳/递归思想。

5.1 算术表达式的规则

定义（算术表达式大步语义）

$\frac{}{\langle n, f\rangle \Downarrow n}\ (\text{常量}) \qquad \frac{}{\langle x, f\rangle \Downarrow f(x)}\ (\text{变量})$ $\frac{\langle e_1, f\rangle \Downarrow n_1 \quad \langle e_2, f\rangle \Downarrow n_2}{\langle e_1 + e_2, f\rangle \Downarrow n_1 + n_2}\ (\text{加法})$ 减、乘、除类似（除法在 $n_2=0$ 时无规则适用——见"出错求值 Errant Evaluations"，下一讲处理）。

对照第 3 节的 eval_plus：递归调用左右子表达式、相加返回——推理规则正是它的数学化、与实现无关的版本。前提对应递归调用，结论对应返回值。

5.2 布尔表达式与语句（下一讲展开）

布尔表达式规则（如比较 $\langle e_1, f\rangle\Downarrow n_1,\ \langle e_2,f\rangle\Downarrow n_2$ 推出 $\langle e_1 = e_2, f\rangle \Downarrow (n_1 \stackrel?= n_2)$ ）与语句规则（赋值、顺序、if、while）将在 L7 系统给出。预览：

例题（if 语句的直觉）

if (x == 1) { y = 2; }

语义：先在帧 f 下求条件 x==1；若为 true，则执行 y=2 得 $f[y\mapsto2]$ ；若为 false，则帧不变。对应两条 if 推理规则（真分支 / 假分支）。

6. 本讲小结

Chomsky 层级收尾：正则/CFG/上下文相关/无限制 ↔ FSA/PDA/LBA/TM；解析技术按 LL/LR(k) 命名（本课 LL(1)）。"声明-使用"约束超出 CFG，属类型系统。
语义给出程序行为的精确、完整、无歧义、平衡的规格；C/C++ 实参顺序未定义说明规格的必要性。
朴素递归解释器隐含语义，但依赖实现语言；改用数学化的大步操作语义。
核心机制：帧（变量→值）+ 求值关系（ $\langle e,f\rangle\Downarrow n$ 、 $\langle s,f\rangle\Downarrow f'$ ）+ 推理规则（结构归纳）。
算术表达式规则已给出；布尔与语句（赋值/顺序/if/while）见 L7。