Lec 22寄存器分配 II（Register Allocation II）——线性扫描与图着色
Lec 22 寄存器分配 II（Register Allocation II）——线性扫描与图着色
与 L21 共用同一份 slides（《Register Allocation (+ Liveness, Dead Code Elimination)》，分配算法部分 credit Stanford CS143）。L21 打好了地基（活跃性分析、活跃区间、寄存器分配问题形式化），本讲落实 slides "Goal" 提出的两种分配算法：线性扫描 (Linear Scan) 与 图着色 (Graph Coloring)。结合 index.md 推荐的经典论文（Chaitin 1982、Poletto–Sarkar 线性扫描、George–Appel 1996）补充算法细节。
TL;DR
- 图着色分配从活跃性构造干涉图，用简化、选择、溢出与 move coalescing 寻找高质量分配，但编译成本较高。
- 线性扫描按活跃区间起点排序，维护 active 集并回收到期寄存器；它接近线性时间，更适合受编译延迟约束的 JIT。
- 两种算法都必须正确插入溢出 load / store，遵守固定寄存器与 caller / callee-saved 约定，并保证每个程序点上值的位置一致。
1. 回顾与目标
L21 已得到：把栈式 IR 转成三地址码后，用活跃性分析算出每个变量的活跃区间 (live interval)；不能共用寄存器的变量来自活跃区间重叠。
定义（本讲目标）
探索两种寄存器分配算法：
-
线性扫描 (Linear Scan)——快、简单，适合 JIT；
-
图着色 (Graph Coloring)——质量高、更通用，适合 AOT/优化编译。
两者都建立在 L21 的活跃性结果之上。
回顾约束优化视角：假设 load_local 0 的 y 在 rdi，约束（t1/t2/t3 用 rdi、return t4 用 rax）下最小化内存访问与寄存器间 mov，求得最优分配 t1..t3→rdi, t4→rax。线性扫描与图着色就是求解这类问题的两种实用算法。
2. 干涉与干涉图（Interference）
定义（干涉 Interference）
两个变量干涉，若它们在某程序点同时活跃（活跃区间重叠）——则它们不能分配到同一寄存器。
定义（干涉图 Interference Graph）
结点 = 变量（虚拟寄存器/临时值）；无向边 = 两变量干涉。给 k 个寄存器分配 = 用 k 种颜色给干涉图着色，使相邻结点异色。这正是图论的 k-着色问题。
用 L21 的例子：
d=e+f处{e,f}同时活跃 → e 与 f 干涉，连边；e=d+a处{a,b,c,d}→ a,b,c,d 两两干涉。把所有重叠关系画成图，就得到干涉图。
3. 图着色寄存器分配（Graph-Coloring）
经典的 Chaitin / Chaitin-Briggs 算法。核心定理：
定理（度数 < k 必可着色）
若干涉图中某结点的度数（邻居数）小于可用寄存器数 k，那么无论其邻居如何着色，总能给它留出一种颜色。
于是可移除这种低度结点（连同它的边），递归着色剩下的图，最后再把它放回并染色。
3.1 算法步骤（Chaitin-Briggs）
定义（图着色分配流程）
-
Build（建图）：由活跃性分析建干涉图；
-
Simplify（化简）：反复移除度数 < k 的结点，压入栈；
-
Spill（溢出候选）：若只剩度数 ≥ k 的结点，选一个标记为潜在溢出并移除（也压栈），继续 simplify；
-
Select（着色）：从栈逐个弹出结点放回图，分配一个与邻居不冲突的颜色；若某潜在溢出结点放回时无可用颜色 → 实际溢出 (actual spill)；
-
Spill code（溢出代码）：为实际溢出的变量插入存/取内存指令，然后重建图重跑。 :::
3.2 溢出（Spilling）
寄存器不够时，把某变量放到内存（栈帧槽），在每次使用前 load、定义后 store。选谁溢出是启发式：通常选溢出代价低 / 度数高者（如使用次数少、活跃区间长、不在循环内的变量）。溢出降低图的度数，使其变得可着色。
3.3 寄存器合并（Coalescing）
定义（Coalescing 合并）
对于 a = b 这样的复制 (move)，若 a 与 b 不干涉，可把它们合并成一个结点分配到同一寄存器，从而消除这条 mov（这正是 L21 里"为什么这么多 mov"的解药）。
风险：合并会提高结点度数、可能让图变得不可着色。George–Appel 的迭代寄存器合并 (Iterated Register Coalescing, 1996) 用保守判据（Briggs/George）只在不破坏可着色性时才合并。
定理（图着色的复杂度）
一般 k-着色是 NP 完全的，故实用分配器用启发式（Simplify/Coalesce/Freeze/Spill 的迭代）。质量高但编译较慢——适合 AOT/优化编译。
4. 线性扫描寄存器分配（Linear Scan）
Poletto–Sarkar 的算法，为快速编译（JIT）而生：不建干涉图，只在一条线性扫描中处理活跃区间。
定义（线性扫描）
把每个变量近似为一个活跃区间 [start, end]（L21 定义的 live interval）。按 start 排序，从前往后扫描；维护一个按 end 排序的活跃区间集合 (active list)：
-
遇到新区间，先expire（淘汰）所有 end 已早于当前 start 的旧区间，释放它们的寄存器；
-
若有空闲寄存器，分配给新区间，加入 active；
-
若无空闲寄存器 → 在新区间与 active 中 end 最晚者之间选一个溢出（通常溢出 end 更晚的那个）。 :::
::: theorem 定理（线性扫描的取舍）
-
优点：近似线性时间、实现简单、内存开销小 → JIT 首选（早期 HotSpot client、V8 等）；
-
缺点：把活跃范围粗化为单一连续区间，精度低于图着色，可能多溢出；有诸多改进（区间带"洞"的版本、second-chance、SSA 上的线性扫描）。 :::
5. 两种算法对比
::: theorem 定理（Linear Scan vs Graph Coloring）
| 维度 | 线性扫描 | 图着色 |
|---|---|---|
| 数据结构 | 排序的活跃区间 | 干涉图 |
| 编译速度 | 快（近线性） | 慢（NP 完全 + 启发式） |
| 代码质量 | 较好 | 更好（更少溢出、可合并） |
| 消除 move | 有限 | coalescing 强 |
| 适用 | JIT、快速开发循环 | AOT、优化编译 |
呼应 L18 的"何时编译"：JIT 要省编译时间 → 线性扫描；AOT 求极致代码 → 图着色。MITScript 项目里可先实现线性扫描跑通，再视需要上图着色。
6. 一致性与正确性要点
承接 L21 的寄存器一致性：
::: theorem 定理（分配必须遵守的约束）
-
每个程序点每个变量唯一位置；同一变量可在不同点位于不同寄存器/内存；
-
不同时活跃的变量可共用一个寄存器（这正是分配能"省"的根源）；
-
必须尊重 ISA 约束：结果固定落某寄存器的指令、caller/callee-saved 约定（跨 call 要保存的寄存器需在调用前后 push/pop 或避免使用）；
-
溢出代码必须在每次 use 前 load、def 后 store，保证语义不变。 :::
7. 与参考资料的对应（补充）
- 图着色：Chaitin《Register Allocation & Spilling via Graph Coloring》(1982)；改进与合并见 George & Appel《Iterated Register Coalescing》(1996)——均在 index.md 列出。
- 线性扫描：Poletto & Sarkar《Linear Scan Register Allocation》——index.md 列出。
- slides 的图着色讲解 credit Stanford CS143；活跃性框架 credit 6.035 (Amarasinghe)。
- 系统性教材：《Engineering a Compiler》（index.md 推荐，含寄存器分配/数据流/SSA）。Crafting Interpreters 不涉及本主题。
8. 本讲小结
- 寄存器分配 = 给干涉图 k-着色（k = 可用寄存器数）；干涉 = 活跃区间重叠。
- 图着色（Chaitin-Briggs）：Build → Simplify（移度数<k 的点）→ 必要时标记 Spill → Select（弹栈着色）→ 实际溢出则插溢出代码重跑；用 coalescing 消除 move。质量高但 NP 完全、编译慢，适合 AOT。
- 线性扫描：按区间 start 排序单趟扫描，维护 active 集合，到期释放寄存器、不够则溢出 end 最晚者；近线性、简单，适合 JIT。
- 两者都必须遵守寄存器一致性与 ISA 约束（特定寄存器、callee-saved、溢出 load/store）。
- 选择取决于编译时机：JIT→线性扫描，AOT→图着色。
- 下一单元（L23–L24）：静态分析，把 L21 的活跃性数据流一般化为通用分析框架（格、单调函数、不动点）。