Lec 21 寄存器分配 I（Register Allocation I）——活跃性分析、死代码消除与活跃区间

寄存器分配的两讲共用一份 slides《Register Allocation (+ Liveness, Dead Code Elimination)》。本讲（L21）打地基：从栈式 IR 转三地址码，做常量传播 / 死代码消除，并用活跃性分析 (liveness analysis) 这一数据流分析支撑它们；最后引出活跃区间 (live range / live interval) 与寄存器分配问题的形式化。算法（线性扫描、图着色）放到 L22。

TL;DR

• 将栈式 IR 转成三地址码会把隐含在操作数栈中的数据依赖显式化，使常量传播、死代码消除和寄存器分配可共享同一表示。
• 变量在程序点活跃，当且仅当从该点出发存在一条路径，在被重新定义前使用它；因此活跃性是后向、并集的数据流问题。
• 活跃区间近似值占用寄存器的时间段，重叠区间不能共享寄存器，为线性扫描与干涉图提供输入。

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1. 回顾：为什么需要寄存器分配

上一讲的"栈缓存"版本把每个栈位死板地绑到固定寄存器 r13，结果满屏都是 mov %r13 %rdi / mov %rax %r13——"为什么这么多 mov？" 因为固定映射不会利用"值本来就在某个寄存器"的事实。

对比寄存器分配后的版本（y 已在 rdi、返回值要在 rax）：

// rdi = load_local 0  (y 已在 rdi → 空操作)
call assert_integer;  mov %rax, %rdi
call get_integer;     mov %rax, %rdi
sub $2, %rdi;  call new_integer    // rax = ...
// return rax

目标：尽量把变量保存在寄存器里，减少内存读写与总内存占用。要回答两个问题：变量放哪个寄存器？寄存器不够时怎么办？

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2. 栈式 IR → 三地址码（Three-Address Code / RTL）

把栈式指令转 3AC：每条压栈对应"定义一个新临时值"，每次弹栈对应"读某临时值"。模拟抽象栈，栈位 ↔ 临时名：

load_local 0          t1 = load_local 0
assert_integer    →   t2 = assert_integer t1
get_integer           t3 = get_integer t2
sub_int32_const 2     t4 = sub_int32 t3 2
return                return t4

这一步把"隐式的栈数据流"变成"显式的命名数据流"，后续所有数据流分析（常量传播、活跃性）都建立在 3AC 上。延伸阅读：Shi/Gregg/Beatty/Ertl《Virtual Machine Showdown: Stack vs Registers》比较两种 VM 规格在表示大小、性能、可做的翻译/优化（复制传播、死代码消除）上的差异。

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3. 常量传播与死代码消除（3AC 上的版本）

3.1 常量传播（Constant Propagation）

把"加载常量"得到的临时值，用其已知常量值替换后续使用：

t4 = load_const 1        t4 = 2
t5 = get_integer t4   →  t5 = get_integer 2
t6 = sub_int32 t3 t5     t6 = sub_int32 t3 2

t4、t5 一旦被常量替换，其使用点都不再引用它们。

3.2 死代码消除（Dead Code Elimination）

常量传播后，t4 与 t5 都不再活跃 → 删除：

t1 = load_local 0
t2 = assert_integer t1
t3 = get_integer t2
t6 = sub_int32 t3 2     # 直接用常量 2
return

要判断"之后是否还被使用"，需要一个能回答"某点哪些变量还活着"的分析——活跃性分析。

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4. 活跃性分析（Liveness Analysis）

4.2 用位向量表示

例子（变量顺序 a b c x y t，假设 a,b,c 方法外可见→出口活跃，x,y,z,t 不可见）：

a = x+y;
t = a;
c = a+x;
x == 0
b = t+z;    c = y+1;

每个点的活跃集合用位向量表示，如 1 1 0 0 1 0 0 表示 {a, b, y} 活跃。反向沿 CFG 传播即可得到每点的位向量。

4.3 数据流框架

数据流方程（后向、并集）：

OUT[n] = ⋃_{s ∈ succ(n)} IN[s]
IN[n]  = USE[n] ∪ (OUT[n] − DEF[n])

4.4 工作表算法（Worklist）

for all n in N − {Exit}:  IN[n] = ∅
OUT[Exit] = ∅;  IN[Exit] = use[Exit]
Changed = N − {Exit}
while Changed ≠ ∅:
    choose n in Changed;  Changed −= {n}
    OUT[n] = ⋃_{s ∈ succ(n)} IN[s]
    IN[n]  = use[n] ∪ (out[n] − def[n])
    if IN[n] changed:
        for all p in pred(n):  Changed ∪= {p}

这是经典的不动点迭代：反复套用方程直到所有 IN/OUT 稳定。L23–L24 会把它一般化为通用数据流/格分析框架。

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5. 寄存器分配问题的形式化

5.1 两大挑战

::: example 挑战

• 寄存器稀缺：IR 变量常远多于寄存器，必须尽量复用——放不下就溢出 (spill) 到内存；

• 寄存器复杂：x86 某些指令结果必须落在特定寄存器；多数架构有些寄存器需跨函数调用保留 (callee-saved)。 :::

5.2 寄存器一致性

::: definition 定义（Register Consistency）

• 在每个程序点，每个变量必须位于唯一位置——但不意味着变量始终在同一位置；

• 若两个变量从不同时被读，可分配到同一寄存器；

• 在每个程序点，每个寄存器至多保存一个活跃变量。 :::

5.3 活跃区间（Live Range / Live Interval）

::: definition 定义（活跃区间）

• 变量的 live range（活跃范围）：它活跃的那些程序点的集合（由活跃性分析得到）；

• 变量的 live interval（活跃区间）：包含其全部活跃范围的最小连续区间——比 live range 粗（可能含它实际不活跃的点），但更简单好处理。 :::

5.4 例：计算活跃区间

对如下 CFG（含分支），反向传播活跃集合：

{a,b,c,d}  e = d + a
{b,c,e}    f = b + c
{b,e,f}    f = f + b
{e,f}      IfZ e Goto _L0
{e,f}      d = e + f        |   _L0: d = e - f
{d}        Goto _L1         |   {d}
           _L1: g = d
{g}

反向逐条计算每点活跃集合（如 g=d 处 {g}→其上 {d}→……→入口 {a,b,c,d}）。这些区间彼此重叠的变量不能共用寄存器——这正是 L22 图着色里"干涉"的来源。

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6. 接下来（L22 预告）

::: definition 定义（目标：两种分配算法）

• 线性扫描 (Linear Scan) 寄存器分配；

• 图着色 (Graph-Coloring) 寄存器分配。 :::

并把寄存器分配视为约束优化问题：假设 load_local 0 的 y 在 rdi，约束（t1/t2/t3 用 rdi、返回 t4 用 rax）下最小化内存访问与寄存器间 mov，得最优分配 t1..t3→rdi、t4→rax。

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7. 与参考资料的对应（补充）

• 活跃性数据流框架出自经典编译原理（slides 注明 Saman Amarasinghe, 6.035；图着色部分 credit CS143@Stanford）。
• index.md 推荐的寄存器分配论文：Chaitin《Register Allocation & Spilling via Graph Coloring》(1982)、Poletto & Sarkar《Linear Scan Register Allocation》、George & Appel《Iterated Register Coalescing》(1996)——分别对应 L22 的图着色、线性扫描、合并优化。
• Crafting Interpreters 不涉及寄存器分配（clox 是栈式字节码解释器），本主题属课程超出书的部分，可读《Engineering a Compiler》。

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8. 本讲小结

• 把栈式 IR 转三地址码，让数据流显式化；据此做常量传播 + 死代码消除。
• 活跃性分析：变量 v 在 p 活跃 = 从 p 出发某路径在重定义前用到 v；它是后向、并集的数据流问题，用 IN/OUT/USE/DEF 方程 + 工作表算法在 CFG 上求不动点。
• 寄存器分配 = 把变量映射到稀缺寄存器并管理溢出；要点是寄存器一致性（每点每变量唯一位置、不同时活跃的变量可共用寄存器）。
• 活跃区间（live range 的连续化近似）刻画变量何时占用寄存器，重叠的变量不能共用——这是 L22 干涉图的基础。
• 下一讲（L22）：线性扫描 与 图着色 两种分配算法。