Lec 23静态分析 I（Static Analysis I）——数据流分析框架与格
Lec 23 静态分析 I（Static Analysis I）——数据流分析框架与格
把前面零散用过的分析（类型分析、值分析/常量传播、活跃性）统一到一个通用静态分析框架。本讲讲清楚五个关键概念：事实 (Facts)、合并 (Merging)、转移函数 (Transfer Functions)、算法 (Chaotic Iteration)、终止 (Fixpoints)，并引入格 (lattice) 来刻画分析的精度与合并操作。
TL;DR
- 数据流分析与抽象解释把类型、常量、活跃性等问题统一为 CFG 上的事实、转移函数、合并、迭代与不动点。
- 事实空间可以跟踪常量、符号表达式、区间或值集；追踪能力越强，精度越高，但时间和空间成本也越大。
- 控制流汇合点需要安全地合并不同路径事实，格用精度偏序与 join / meet 定义这种过近似。
1. 回顾：我们已经用过的优化
定义（高级优化清单）
-
类型分析：尽量确定操作数类型（→ 消除类型检查）；
-
形状分析：尽量确定操作数形状（如 record
{a:1,b:2}的字段集{a,b}）； -
值分析：尽量确定操作数值（→ 常量传播）；
-
依赖与活跃性分析：→ 死代码消除、寄存器分配。
四条 takeaway 同 L19：可推断的信息很多、IR 是编码载体、从变换后程序生成代码、优化彼此交互需多轮。
优化的版图自 1960s 起极其丰富——Frances Allen 1966 的《Program Optimization》奠定了系统化分析与变换的概念基础（图灵奖引文）。用基准测试 (benchmarks) 指导选哪些优化。 更多内容见 P5 概览、6.035、Berkeley CS294。
本讲的问题：前面这些分析各写各的，有没有统一的理论框架？ 有——数据流分析 / 抽象解释。
2. 引子：常量传播需要"到达定义"
例子（CFG，循环里 s = s + a*b）：
s = 0; a = 4; i = 0;
if (k == 0): b = 1; else: b = 2;
while (i < n):
s = s + a*b;
i = i + 1;
return s例题（a 是常量吗？b 是常量吗？）
-
s = s + a*b处 a 是常量 4？—— 是！ 因为所有到达此处的定义 (reaching definitions) 都是a = 4。 -
b 是常量？—— 否！ 一条到达定义是
b = 1，另一条是b = 2（来自 if 的两支），合并后值不唯一。 :::
于是可做常量传播变换：s = s + a*b → s = s + 4*b（a 换成 4，b 不能换）。
关键难点：循环带回边、if 有分叉合并——必须有办法沿 CFG 传播事实、在合并点汇总、且在循环里收敛终止。这正是数据流框架要解决的。
3. 静态分析的五个关键概念
::: definition 定义（Static Analysis: Key Concepts）
-
事实 (Facts)：要追踪的性质空间——一个集合，更确切地是一个格 (lattice)，以支持控制流、循环与终止性推理；
-
符号/抽象执行 (Transfer Functions)：如何刻画一个基本块对事实的影响；
-
合并 (Merging)：多分支汇合时如何合并事实（join / meet）；
-
算法 (Chaotic Iteration)：如何计算（混沌迭代 / 工作表）；
-
终止 (Termination)：分析何时停（不动点 fixpoint）。 :::
4. 通用分析框架：数据流分析 vs 抽象解释
::: definition 定义（两大框架）
-
数据流分析 (Dataflow Analysis)：Kildall, 1973；传统用于编译优化；
-
抽象解释 (Abstract Interpretation)：Cousot & Cousot, 1977；意图相近但理论更丰富。
共同点：把分析问题表述成 CFG 上的一组方程，求解之。
我们在 L21 写过的活跃性方程（IN/OUT/USE/DEF + 工作表）正是这个框架的一个实例；本讲把它一般化。
5. 事实 / 性质：选择追踪什么
定义（分析 = 它追踪的一组事实/性质）
不同分析 = 不同的事实空间：
-
常量分析：变量的事实是 Z 中一个已知值（例：常量传播）；
-
符号分析 (Sign)：事实 ∈ {0, 正, 负}；
-
区间分析 (Range)：事实是闭区间 [a,b]（a,b 整数）；用于缩小整数表示位宽或检查溢出（Stephenson, Babb, Amarasinghe, Bitwidth Analysis, PLDI'00）；
-
值集合 (Value Set)：追踪变量可能取值的集合；用于对少量取值特化代码。 :::
精度从粗到细：符号 ⊂ 区间 ⊂ 值集合 ⊂ 精确值——越精确越能优化，但越贵、越难收敛。选哪种是工程权衡。
6. 合并事实（Merging）与精度
在控制流汇合点，要把多条分支的事实合并成一个新事实：
-
新事实应是两支事实的并 (union)；
-
新事实仍须落在该分析的事实集合内；
-
常常是过近似 (overapproximation)——合并结果的取值集合可能比真正的并集还大。
由此引入精度 (precision) 概念：分析可能追踪不到最精确的事实。
6.1 不同分析合并同一对值的结果
合并左支 b=v1、右支 b=v2，看四种分析给出什么：
| 左/右 | 常量 (Constant) | 符号 (Sign) | 区间 (Interval) | 值集合 (Set) |
|---|---|---|---|---|
| 1 / 1 | 1（精确） | + | [1,1] | {1} |
| 1 / 2 | ⊤/?（非常量） | + | [1,2] | {1,2} |
| 0 / 1 | ? | 非负 | [0,1] | {0,1} |
| -1 / 1 | ? | ⊤（任意符号） | [-1,1] | {-1,1} |
同样是
1和2合并：常量分析只能放弃说"不是常量"（精度低），而区间分析能说[1,2]、值集合能说{1,2}（精度高）。合并算子的设计决定精度。
6.2 关键问题：合并用哪个事实？"?" 是什么？
定理（用格来回答合并）
把事实放进一个格 (lattice)——它给事实之间建立精度的偏序关系，并提供把事实并起来的运算（join/meet）。合并 = 在格上取相关元素的最小上界 (join)（或对偶的 meet）。
那个 "?" 通常就是格的顶 ⊤（"不知道/任意"）；对偶的底 ⊥ 表示"尚无信息"。
格的引入解决三件事：① 合并有了良定义的运算（join）；② 精度有了序（越往上越粗）；③ 配合"格高度有限 + 转移函数单调"可证明不动点迭代必终止（详见 L24）。
7. 算法预告：混沌迭代（Chaotic Iteration）
定义（Chaotic Iteration）
反复对 CFG 各结点套用"转移函数 + 合并"，直到所有结点的事实不再变化（达到不动点）。结点处理顺序可以任意（"混沌"），只要持续直到稳定即可——这与 L21 活跃性的工作表算法是同一思想。
例（示意，求各点的事实）：
y=0; t=1;
x=x+1; y=y+2; t=t+2;
y=t-1;
end在 P1…P5 各点反复传播常量/值事实，直至收敛。具体的转移函数定义、单调性与不动点终止性证明，是 L24 的内容。
8. 与参考资料的对应（补充）
- 数据流分析：Kildall (1973)；抽象解释：Cousot & Cousot (1977)。这两篇是本框架的源头。
- 区间/位宽分析：Stephenson, Babb, Amarasinghe, Bitwidth Analysis, PLDI'00。
- 更多数据流优化（公共子表达式消除、自动并行化、数据布局优化）见 MIT 6.035、Berkeley CS294 (wolczko.com/CS294)。
- 形式化的格/不动点理论亦见姊妹课 6.5110《Foundations of Program Analysis》（index.md 列出）。Crafting Interpreters 不涉及数据流分析。
9. 本讲小结
- 把类型/值/活跃性等分析统一到通用静态分析框架：数据流分析 (Kildall) / 抽象解释 (Cousot²)，核心是把问题写成 CFG 上的方程。
- 五个关键概念：事实、转移函数、合并、混沌迭代算法、不动点终止。
- 常量传播依赖到达定义：所有到达定义一致才是常量（a=4 是，b 因 if 两支不一致而否）。
- 事实空间的选择（常量/符号/区间/值集合）决定精度与成本。
- 合并发生在控制流汇合点，常是过近似；用格 (lattice) 给事实建立精度偏序并定义 join 合并，"?" 即格顶 ⊤。
- 下一讲（L24）：转移函数的形式化、格的单调性、以及不动点迭代为何终止。