异步消息传递模型

$n$ 个进程通过可靠但延迟无上界的通道通信。系统状态称为配置（configuration），含所有进程的状态与所有在途消息构成的消息缓冲（message buffer）。一个**步（step）**由某进程接收一条（可能为空 $\varnothing$ 的）消息、改变状态、再发出有限消息组成。

容错： 至多 $f$ 个进程崩溃（crash）（停止后不再走步）。一次执行是可容许的（admissible），若至多 $f$ 个进程崩溃，且每条发往非崩溃进程的消息最终被接收（无消息永久滞留）。

配置的价（Valence）

配置 $C$ 的可达决定值集是从 $C$ 出发所有可容许执行最终出现的决定值之集。

• $C$ 为 0-单值（0-valent）：只可能决定 0；1-单值 类似。
• $C$ 为 双值（bivalent）：0 和 1 都可能（“命运未定”）。 :::

3.2 引理一：存在双值初始配置

引理 1. 任何满足一致性、有效性且容忍一个故障的算法，都存在一个双值初始配置。

证明（相邻初值翻转）. 把初始配置按“每个进程初值 0/1”排成一列，相邻两个只差一个进程的初值。两端分别是全 0（单值 0，由有效性）与全 1（单值 1）。若所有初始配置都单值，则序列中必有相邻一对 $C_0$（0-单值）、$C_1$（1-单值）只差进程 $p$ 的初值。考虑 $p$ 崩溃的执行：其余进程无法区分 $C_0$ 与 $C_1$，必做相同决定——但一个该决定 0、一个该决定 1，矛盾。故存在双值初始配置。$\square$

3.3 引理二：双值可以永远维持

引理 2. 从任意双值配置 $C$ 出发、对任意“待处理事件” $e=(p,m)$，都能先走若干步、再施加 $e$，到达一个仍双值的配置。

证明（菱形 / 临界步论证）. 设 $\mathcal{C}$ 为“从 $C$ 出发不施加 $e$ 所能到达的全部配置”之集，$\mathcal{D}=\{e(E):E\in\mathcal{C}\}$ 为在这些配置上立即施加 $e$ 的结果。反设 $\mathcal{D}$ 全为单值。可证 $\mathcal{D}$ 中既有 0-单值也有 1-单值（否则 $C$ 不双值）。于是在 $\mathcal{C}$ 中存在相邻两配置 $E_0,E_1$（差一个事件 $e'=(p',m')$），使 $e(E_0)$ 是 0-单值、$e(E_1)$ 是 1-单值。分情况：

• 若 $e$ 与 $e'$ 作用于不同进程：二者可交换（异步步可交换），$e(e'(E_0))=e'(e(E_0))$，迫使 0-单值=1-单值，矛盾。
• 若 $e,e'$ 作用于同一进程 $p$：考虑 $p$ 在此刻崩溃、其余进程跑到一个决定的可容许执行 $\sigma$。在 $E_0$ 上先跑 $\sigma$ 再补 $e,e'$，与在 $e(E_0)$、$e'(e(E_0))=\cdots$ 上跑 $\sigma$ 给出同一决定，又导致 0-单值与 1-单值重合，矛盾。

故 $\mathcal{D}$ 不可能全单值——存在施加 $e$ 后仍双值的配置。$\square$

3.4 拼装：构造永不终止的执行

反复用引理 2：从双值初始配置出发，用公平调度（每个进程的最早待处理消息迟早被处理，从而保证可容许、无人被永久饿死）逐个挑选待处理事件 $e$，每次都走到“施加 $e$ 后仍双值”的配置。这样得到一个可容许但永远停留在双值的无限执行——其中无人决定，违反终止性。故这样的确定性算法不存在。$\square$

直觉： 异步 + 一个崩溃 = 对手永远能制造一个“看起来某进程要么慢要么死”的局面，把系统钉在“命运未定”的双值态上。每当算法要靠某一步定锤音，对手就重排该步与其它步的次序，让锤子永远落不下来。

4. Ben-Or 随机算法：用随机化绕过 FLP

FLP 假定确定性。若允许进程投硬币，则可得到以概率 1 终止的算法（仍满足一致性与有效性）。Ben-Or 算法容忍 $f<n/2$ 个崩溃故障（二值共识）。

$f < n/2$） 每进程持当前偏好 $x\in\{0,1\}$（初始为输入），按 phase 重复，每 phase 两轮：

轮 1（report）： 广播 $(\text{R}, \text{phase}, x)$，等收齐 $n-f$ 条 R 消息。

• 若有某值 $v$ 出现 $>n/2$ 次，则广播 $(\text{P}, \text{phase}, v)$；
• 否则广播 $(\text{P}, \text{phase}, ?)$。

轮 2（propose）： 等收齐 $n-f$ 条 P 消息。

• 若收到 $\ge f+1$ 条 $(\text{P},\cdot,v)$（同一非 $?$ 值 $v$）：决定 $v$（并再走一 phase 后停）；
• 否则若收到至少一条 $(\text{P},\cdot,v)$：置 $x:=v$；
• 否则（全是 $?$）：投硬币 $x:=\text{random}\{0,1\}$。 :::

4.1 正确性要点

• 一致性. 关键：任一 phase 中不可能同时有人收到 $\ge f+1$ 个 $0$-提案、又有人收到 $\ge f+1$ 个 $1$-提案。因为发出非 $?$ 提案 $v$ 需先在轮 1 见到 $>n/2$ 个 $v$；$0$ 与 $1$ 不能同时占多数（$n-f>n/2$ 保证 quorum 相交），故至多一个值能被提案为非 $?$。

一旦有进程在某 phase 决定 $v$，则该 phase 末所有非故障进程的偏好都变成 $v$，下一 phase 全体决定 $v$。不会出现两个不同决定值。