Lec 15最短路径算法 I：加权最短路的分布式近似

讲义完成更新于 2026-09-17

承接Lec 14 · 全局问题下界：MST、Min-Cut 与最短路

后续Lec 16 · 最短路径算法 II：路由表构造与稀疏生成子图

Lec 15 最短路径算法 I：加权最短路的分布式近似

主要文献：Danupon Nanongkai《Distributed Approximation Algorithms for Weighted Shortest Paths》(STOC 2014)

TL;DR

带权图中的跳数直径（Shortest-Path Diameter, SPD）可能与拓扑直径 $D$ 发生严重脱钩，导致精确 Bellman-Ford 退化至 $\Theta(n)$ 轮。
Nanongkai 证明通过引入近似可以打破跳数壁垒，在 $\tilde O(\sqrt n\,D^{1/4} + D)$ 轮内求出加权 SSSP 的 $(1+o(1))$ -近似解。
算法核心在于限跳 Bellman-Ford、 $\sqrt n$ 个骨架节点的随机采样与多尺度边权随机缩放，在低直径图上近匹配了 $\tilde\Omega(\sqrt n+D)$ 下界。

1. 本讲要回答的核心问题

CONGEST 模型下的加权单源最短路（SSSP）：源点 $s$ ，每个节点要算出到 $s$ 的（近似）距离。无权图用 BFS 即 $O(D)$ ；带权则需 Bellman–Ford，最坏 $O(n)$ 轮。

一个自 2004 年（Elkin）就被提出的问题：近似能否换取加速？ Nanongkai 给出肯定回答：

主结果. 存在随机算法，在 $\tilde O(\sqrt n\,D^{1/4}+D)$ 轮内算出加权 SSSP 的 $(1+o(1))$ -近似。当 $D$ 较小时其轮数匹配 Das Sarma 等的下界 $\tilde\Omega(\sqrt n+D)$ （Lec 14），相差仅 $\mathrm{poly}\log n$ 。

2. 难点：跳数直径 (Shortest-Path Diameter)

带权 Bellman–Ford 经 $h$ 轮算出的是“至多 $h$ 跳的最短路”。要算真实最短路，需 $h\ge$ 跳数直径（shortest-path diameter, SPD）：最短路所用的最大边数。

权值使跳数脱钩（为何

$D$ 小却仍慢）一个直径 $D=2$ 的图，其加权最短路却可能要绕经 $\Theta(n)$ 条边（轻边构成的长链 + 重的捷径边）。此时 $\mathrm{SPD}=\Theta(n)$ ，朴素 Bellman–Ford 要 $\Theta(n)$ 轮——带权使“跳数”与“直径”脱钩。

因此算法的核心是降低有效跳数：用近似换取“用很少的跳就能逼近真实距离”。

3. 核心思想

3.1 限跳 Bellman–Ford（ $h$ -hop 距离）

定义

$h$ -跳距离（ $h$ -Hop Distance） $d^{(h)}(u,v)$ 为从 $u$ 到 $v$ 、至多 $h$ 条边的最短路长度。它可由 Bellman–Ford 在 $h$ 轮内对所有 $v$ 同时算出（每轮做一次松弛 $d(v)\leftarrow\min_u d(u)+w(u,v)$ ）。

若能让每对相关点间存在一条“近似最短、且只用 $\tilde O(h)$ 跳”的路径，则 $h$ 轮限跳 Bellman–Ford 即给出近似距离。

3.2 骨架 / 地标采样（Skeleton / Landmarks）

随机采样 $\Theta(\sqrt n)$ 个骨架节点（skeleton nodes）。关键性质（高概率）：任意一条用 $\ge\sqrt n$ 跳的最短路上，必经过某个骨架节点（因为长路径上每段长度 $\sqrt n$ 的窗口都大概率含一个采样点）。于是“长程”最短路被分解成“骨架点之间的跳”，而骨架点只有 $\tilde O(\sqrt n)$ 个。

3.3 拼装步骤

短程： 用 $\tilde O(\sqrt n)$ 轮的限跳 Bellman–Ford，算出每个节点到附近（ $\le\sqrt n$ 跳）节点的近似距离，特别是到最近骨架节点的距离。
骨架图： 在 $\tilde O(\sqrt n)$ 个骨架节点上构造一张骨架图（skeleton graph），边权为骨架点间的（限跳）近似距离；在其上求骨架点到 $s$ 的距离。骨架图很小，其信息可被高效汇总/广播。
合并： 每个节点的近似距离 $=$ 它到最近骨架点的短程距离 $+$ 骨架点到 $s$ 的距离，取最小。

3.4 随机缩放 / 扰动（控制近似与跳数）

为得到 $1+o(1)$ 而非常数近似，需对边权做随机缩放/取整（scaling/rounding）：把权值离散到 $\mathrm{poly}\log$ 个尺度，使限跳路径在每个尺度上都近似最优，再叠加。这把“少跳”与“高精度”同时兼顾。

4. 与上下界的关系

下界（Lec 14）： Das Sarma 等给出 $\tilde\Omega(\sqrt n+D)$ ，对任意多项式近似比、即便 $D=\Theta(\log n)$ 都成立。故当 $D$ 小时本算法的 $\sqrt n$ 项是最优的。
APSP： Nanongkai 进一步给出了加权全源最短路的亚线性近似算法。
精确最短路： 是另一条更难的理论方向（Huang–Nanongkai–Saranurak FOCS 2017 等）。

5. 本讲小结与近似最短路框架

内容	结论
主结果	$(1+o(1))$ -近似 SSSP， $\tilde O(\sqrt n\,D^{1/4}+D)$ 轮
难点	跳数直径 $\mathrm{SPD}$ 可达 $\Theta(n)$ ，与 $D$ 脱钩
工具	限跳 Bellman–Ford + $\sqrt n$ 骨架采样 + 随机缩放
最优性	$D$ 小时匹配下界 $\tilde\Omega(\sqrt n+D)$ （Lec 14）

主线：近似确实能换取加速——把“必须走满 $\mathrm{SPD}$ 跳”的硬约束，用骨架采样切成 $\tilde O(\sqrt n)$ 跳的短程问题加一个小骨架图。