共识正确性条件

• 一致性（Agreement）： 任两个（非故障）进程不会决定不同的值。
• 有效性（Validity）： 决定值必须合理——例如若所有进程初值同为 $v$，则只能决定 $v$。
• 终止性（Termination）： 所有非故障进程最终都做出决定。 :::

2. 协同进攻：链路故障下的确定性不可能性

场景. 若干将军要从不同方向协同进攻；只有全体进攻才能成功，部分进攻则全军覆没。将军间只能靠步行信使通信，而信使可能被俘（消息可能丢失）。通信图无向连通、人人皆知，且消息延迟有已知上界。其计算机科学本质是分布式数据库的提交问题（commit）。

形式化（$n$ 进程，已知图，初值 $\in\{0,1\}$，$1$=进攻/提交，$0$=不进攻/中止；同步模型但允许任意消息丢失）的有效性取弱形式：

• 若全体初值为 $0$，则只能决定 $0$；
• 若全体初值为 $1$ 且所有消息都送达，则只能决定 $1$。

定理 5.1. 设 $G$ 为两节点一条边的图，则不存在求解协同进攻问题的算法。（两点不可解 ⇒ 任意 $\ge2$ 节点图不可解。）

证明（不可区分性链 / indistinguishability chain）. 反设算法 $A$ 存在。设 $\alpha$ 为“双方初值 $1$、全部送达”的执行，由有效性双方在 $r$ 轮内决定 $1$；令 $\alpha_1$ 为“$r$ 轮后丢弃全部消息”的执行，仍决定 $1$。

从 $\alpha_1$ 出发，逐条删去最后一条消息构造执行序列，每相邻两个执行对某进程不可区分（$\overset{i}{\sim}$）： $\alpha_1\overset{1}{\sim}\alpha_2\overset{2}{\sim}\alpha_3\overset{1}{\sim}\cdots\overset{}{\sim}\alpha'$ （$\alpha_2$ 删去进程 1→2 的最后一条；对进程 1 不可区分，故 1 仍决定 1，由一致性 2 也决定 1；如此交替）。最终 $\alpha'$ 为“双方初值 $1$、零消息送达”，仍被迫双方决定 $1$。

再考虑 $\alpha''$（进程 1 初值 $1$、进程 2 初值 $0$、零消息）：对进程 1 与 $\alpha'$ 不可区分，故 1 决定 $1$，由终止+一致性 2 也决定 $1$。最后 $\alpha'''$（双方初值 $0$、零消息）：对进程 2 与 $\alpha''$ 不可区分，故 2 决定 $1$——但有效性要求决定 $0$，矛盾。$\square$

直觉： 消息可丢失时，“全送达决定 1”与“全丢失决定 0”两个极端被一条每步只差一条消息的链连起来，每步都有人察觉不到差异，于是决定值无法在链上改变——一致性与有效性不可兼得。

3. 进程故障模型

链路可靠（消息必达），但至多 $f$ 个进程故障。两种故障：

• 停止故障（stopping/crash failure）： 进程可在任意时刻彻底停止，甚至在一轮发消息中途停止（任意子集消息被发出）。
• 拜占庭故障（Byzantine failure）： 进程可表现任意行为（任意初态、任意消息、任意转移），唯一限制是只能控制自己的输出与状态，不能篡改他人。

两模型的一致性/有效性略有不同：拜占庭版本只对非故障进程要求一致与有效。

4. 停止故障算法（完全图）

4.1 FloodSet：最简算法

FloodSet： 每进程维护集合 $W\subseteq V$，初始为自己初值的单元素集。共 $f+1$ 轮，每轮广播 $W$ 并把收到的全部值并入 $W$。$f+1$ 轮后：若 $|W|=1$ 则决定其唯一元素，否则决定默认值 $v_0$。

正确性关键：“$f+1$ 轮中必有一轮无人故障”：

引理 6.1. 若第 $r$ 轮无进程故障，则该轮后所有仍活跃的进程 $W$ 相同。 引理 6.2. 若某轮后活跃进程 $W$ 都相同，则其后各轮仍然相同。 引理 6.3（关键）. 若 $i,j$ 在 $f+1$ 轮后都活跃，则 $W_i=W_j$。 证明： $\le f$ 个故障 ⇒ $f+1$ 轮中至少有一“干净轮” $r$（无故障），引理 6.1+6.2 即得。$\square$

定理 6.4. FloodSet 求解停止故障下的共识。 复杂度： $f+1$ 轮；$O((f{+}1)n^2)$ 条消息；每条 $O(nb)$ 位（$b$=单值位数），共 $O((f{+}1)n^3b)$ 位。

4.2 OptFloodSet：降低通信

观察：每进程最终只需知道“$|W_i|=1$ 时的那个值”或“$|W_i|\ge2$ 这个事实”。故每进程最多广播两个值（首轮广播初值；之后首次见到不同值时广播该新值）。轮数仍 $f+1$，消息降到 $2n^2$，通信 $O(n^2b)$ 位。

4.3 指数信息收集 EIGStop

EIG（Exponential Information Gathering）用一棵标号树记录“谁告诉谁……的初值是什么”的传播链。

$T_{n,f}$ 有 $f+2$ 层（层 $0$=根到层 $f+1$=叶）。层 $k$ 的每个节点有 $n-k$ 个孩子。根标号为空串 $\lambda$；标号 $i_1\cdots i_k$ 的节点对每个 $j\in\{1,\dots,n\}\setminus\{i_1,\dots,i_k\}$ 各有一个标号 $i_1\cdots i_k j$ 的孩子。每条根到叶的路径是一条互异进程的链。

EIGByz 决策规则（newval）

$f+1$ 轮后，把所有 null 改成默认值 $v_0$。自叶向根计算 $\mathrm{newval}$：

• 叶节点 $x$：$\mathrm{newval}(x):=\mathrm{val}(x)$；
• 非叶节点 $x$：$\mathrm{newval}(x):=$ 其孩子 $\mathrm{newval}$ 的严格多数值，若无多数则取 $v_0$。

最终决定 $=\mathrm{newval}(\lambda)$。