Lec 2 泛洪、BFS 树、广播、收敛广播与 Bellman-Ford

依据标准分布式算法理论与 DGA 全局问题预备原语整理构建 · 这些原语是后续全局问题（MST、Min-Cut、最短路）的基础构件

TL;DR

• CONGEST 模型下每条链路每轮仅能传递 $O(\log n)$ 位消息，通信带宽成为算法计算与协调的核心约束。
• 泛洪与 BFS 树构造在 $O(D)$ 轮和 $O(|E|)$ 条消息内完成，为全网建立以源点为根的最短路径骨架。
• 沿树广播与收敛广播以 $O(D)$ 轮实现“散发-聚合”范式（流水线可将 $k$ 条消息传输优化至 $O(k+D)$ 轮）；加权单源最短路则由分布式 Bellman-Ford 在 $O(\mathrm{SPD})$ 轮内求解。

1. 本讲要回答的核心问题

Lec 1 的 LOCAL 模型不限带宽。但现实网络里每条链路每轮只能传有限位。当消息只有 $O(\log n)$ 位时，最基本的“把信息传遍全网”还能多快？ 本讲建立一组基础通信原语：

• 泛洪（flooding）：让一条消息扩散到全网；
• BFS 树（BFS tree）：扩散过程顺便建出一棵以源点为根的最短路树；
• 广播（broadcast） / 收敛广播（convergecast）：沿树自上而下散发 / 自下而上聚合；
• Bellman–Ford：分布式单源最短路。

这里采用（CONGEST model）：同步轮，每轮每节点向每个邻居发一条 $O(\log n)$ 位消息。

2. 泛洪（Flooding）

正确性与复杂度. 消息在第 $d$ 轮恰好到达所有与 $s$ 距离为 $d$ 的节点（对 $d$ 归纳）。因此：

定理. 泛洪在 $D$ 轮内（$D$ 为图直径）使 $m$ 到达每个节点。每条边最多被双向各转发一次，故消息总数为 $O(|E|)$。

泛洪是几乎所有全局算法的“心跳”：它既是传播机制，也是衡量“全局信息最快多快能到”的基准——任何依赖远处信息的问题都至少需要 $\Omega(D)$ 轮。

3. BFS 树（BFS Tree）

把泛洪中“我第一次从谁那里收到消息”记录下来，就得到一棵最短路树。

算法步骤：

1. 源点 $s$ 设 $\mathrm{dist}(s)=0$，向邻居发 $\langle 0\rangle$。
2. 节点 $v$ 首次收到某邻居 $u$ 发来的 $\langle d\rangle$ 时，设 $\mathrm{dist}(v)=d+1$、$\mathrm{parent}(v)=u$，并向邻居发 $\langle d+1\rangle$。
3. 之后忽略所有重复消息。

几个细节： 同一轮可能有多个邻居同时把消息送到 $v$，任选其一作父亲即可（用 ID 最小者打破平局可保证确定性）。BFS 树是无权图最短路树；带权图需要 Bellman–Ford（见 §6）。

4. 广播（Broadcast）

复杂度. 单条 $O(\log n)$ 位消息广播耗时 = 树深 $= O(D)$。

流水线（pipelining）. 若要广播 $k$ 条消息，逐条会花 $O(kD)$；用流水线（第 $t$ 轮发第 $t$ 条，各条像传送带一样依次推进）可做到 $O(k+D)$ 轮。这一技巧在 DGA 第 2 章用于让 $\sqrt n$ 个大分量在全局 BFS 上并行通信。

5. 收敛广播（Convergecast）

广播的逆向：把分散在各节点的数据沿树自下而上聚合到根。

复杂度. 一个聚合标量（$O(\log n)$ 位，如全树最小边权）的收敛广播耗时 $O(D)$，每条树边只传一次。

广播 + 收敛广播合起来构成“散发–聚合”循环，是树上一切全局汇总（求和、求极值、计数、判定）的统一范式。

6. Bellman–Ford（分布式单源最短路）

无权图用 BFS 即可；带权图需要 Bellman–Ford。它天然适配分布式：每个节点只与邻居交换“我目前到源的估计距离”。

算法. 源点 $s$ 设 $d(s)=0$，其余 $d(v)=\infty$。每一轮，每个节点 $v$ 把当前 $d(v)$ 发给邻居，并按收到的更新： $d(v)\leftarrow \min\Big(d(v),\ \min_{u\in N(v)}\big(d(u)+w(u,v)\big)\Big).$

定理. 在无负环的带权图上，Bellman–Ford 经 $h$ 轮后，$d(v)$ 等于“至多 $h$ 跳”的最短路长度。因此最多 $n-1$ 轮收敛到真实最短距离；按最短路跳数直径（shortest-path diameter） $\mathrm{SPD}$ 计，$\mathrm{SPD}$ 轮即收敛。

证明思路（对跳数归纳）. 经 $h$ 轮后 $d(v)$ = 从 $s$ 到 $v$、边数 $\le h$ 的最短路径权和。第 $h+1$ 轮的松弛在 $h$ 跳最短路尾部再接一条边，恰好覆盖所有 $h+1$ 跳路径。无负环时最短路至多 $n-1$ 条边。$\square$

复杂度对比：

算法	适用	轮数	每节点状态
BFS	无权	$O(D)$	距离 + 父指针
Bellman–Ford	带权（无负环）	$O(\mathrm{SPD})\le O(n)$	距离估计

Bellman–Ford 在最坏情形可能慢（$\mathrm{SPD}$ 可达 $\Theta(n)$，即便 $D$ 很小），这正是后续课程引入低拥塞捷径（low-congestion shortcuts）、$\tilde O(D+\sqrt n)$ 等更精细技术的动机。

7. 本讲小结与核心原语对比

本讲建立了 CONGEST 模型下的四个基础原语，它们的轮复杂度都以直径 $D$ 为标尺：

• 泛洪 / BFS 树：$O(D)$ 轮把信息或最短路结构铺满全网；
• 广播 / 收敛广播：$O(D)$ 轮完成树上“散发”与“聚合”，流水线下多消息为 $O(k+D)$；
• Bellman–Ford：$O(\mathrm{SPD})$ 轮的带权最短路。

它们共同构成下游全局算法（MST、Min-Cut）的底层调用接口；而 $\Omega(D)$、$\tilde\Omega(D+\sqrt n)$ 这类下界，也将解释为什么“局部能算”和“全局必须等信息走到”是两类本质不同的问题。