Lec 11 递归数据类型

TL;DR

• 递归数据类型由基本变体和引用自身的递归变体组成，列表、树和表达式都可以用这种有限定义描述无限多个结构值。
• 不可变链表可写成 Empty + Cons(first, rest)；接口定义共同操作，两个实现类分别承载基本情况和递归情况。
• 处理递归数据的函数通常镜像数据定义：每个变体对应一个分支，递归分支调用更小子结构，基本分支负责终止。
• 当前笔记已建立不可变链表的类型与实现，但在“递归数据类型的函数”处中断，完整递归操作示例仍待补充。

递归数据类型的学习目标

本节我们将探讨递归定义的类型、如何指定此类类型的操作以及如何实现它们。我们的主要示例是immutable lists。

完成本节学习，应掌握：

• 理解递归数据类型
• 读写数据类型定义
• 理解并实现递归数据类型函数
• 理解immutable lists并了解其标准操作
• 了解并遵循使用 ADT 编写程序的规则

递归

在介绍递归数据类型之前，我们回顾一下递归函数，在 6.010 学习中，我们知道，

• 递归 讨论了基本情况（base case）和递归情况（recursive case），介绍了递归辅助函数，并展示了如何用递归实现多个函数。
• 递归与迭代 这部分讨论了递归（函数调用自身）和迭代（循环）之间的在表达重复计算时的对偶关系。还介绍了递归计算的三种常见模式：链表型（list-like）、树型（tree-like）和图型（graph-like）。在接下来的内容中，链表式和树状递归模式将特别重要。

正如递归函数是通过自身定义的，递归数据类型也是通过自身来定义的。我们同样会看到基本情况和递归情况的需求，只不过现在它们会体现在抽象类型的不同变体上。

示例：不可变链表

不可变性（immutability）的强大之处不仅在于它的安全性，还在于它允许共享。共享带来的实际的性能好处：占用更少的内存、减少拷贝开销。

我们定义一个不可变链表类型ImList<Element>，它有四种基本操作：

empty: void → ImList          // 返回一个空链表
cons: Element × ImList → ImList   // 将一个元素加到另一个链表的头部，返回新的链表
first: ImList → Element          // 返回链表的第一个元素（要求链表非空）
rest: ImList → ImList            // 返回除第一个元素外的子链表（要求链表非空）

这四个操作历史悠久，来源于早期的 Lisp 和 Scheme 语言（在那里面，它们分别叫做 nil, cons, car, 和 cdr）。在函数式编程中，first 和 rest 有时也被称为 head 和 tail。

我们用方括号表示链表，如 [1, 2, 3]，并把操作写成函数形式：

empty() → [ ]
cons(0, empty()) → [0]
cons(0, cons(1, cons(2, empty()))) → [0, 1, 2]

x = cons(0, cons(1, cons(2, empty()))) → [0, 1, 2]
first(x) → 0
rest(x) → [1, 2]
first(rest(x)) → 1
rest(rest(x)) → [2]
first(rest(rest(x))) → 2
rest(rest(rest(x))) → [ ]

first、rest、cons 三者的基本关系是：

first(cons(x, y)) = x  
rest(cons(x, y)) = y

也就是说：cons 负责组合，而 first 与 rest 负责拆解。

TypeScript 中的不可变链表

我们用一个接口来定义这个 ADT：

interface ImList<Element> {
    cons(first: Element): ImList<Element>;
    readonly first: Element;
    readonly rest: ImList<Element>;
}

两个实现类, 我们用两个类实现该接口：

• Empty 表示空链表（empty() 的结果）
• Cons 表示非空链表（cons() 的结果）

class Empty<Element> implements ImList<Element> {
  public constructor() {
  }

  public cons(first: Element): ImList<Element> {
    return new Cons<Element>(first, this);
  }

  public get first(): Element {
    throw new Error("unsupported operation");
  }

  public get rest(): ImList<Element> {
    throw new Error("unsupported operation");
  }
}

这里使用了 getter 方法，让在空链表上访问 first 或 rest 时能立即报错。

接下来是 Cons 类：

class Cons<Element> implements ImList<Element> {
  public readonly first: Element;
  public readonly rest: ImList<Element>;

  public constructor(first: Element, rest: ImList<Element>) {
    this.first = first;
    this.rest = rest;
  }

  public cons(first: Element): ImList<Element> {
    return new Cons<Element>(first, this);
  }
}

已经实现了 cons，first， rest三个操作，那empty怎么办呢？

工厂函数实现 empty()， 一个做法是让调用者直接创建new Empty()，但这样暴露了具体实现类，不符合 ADT 的封装原则，更好的方法是定义一个工厂函数

function empty<Element>(): ImList<Element> {
  return new Empty<Element>();
}

实际使用示例

TypeScript 语法	函数式写法	结果
const nil: ImList<number> = empty();	nil = empty()	[ ]
nil.cons(0)	cons(0, nil)	[0]
nil.cons(2).cons(1).cons(0)	cons(0, cons(1, cons(2, nil)))	[0, 1, 2]
const x = nil.cons(2).cons(1).cons(0);	x = cons(0, cons(1, cons(2, nil)))	[0, 1, 2]
x.first	first(x)	0
x.rest	rest(x)	[1, 2]
x.rest.first	first(rest(x))	1
x.rest.rest	rest(rest(x))	[2]
x.rest.rest.first	first(rest(rest(x)))	2
x.rest.rest.rest	rest(rest(rest(x)))	[ ]
const y = x.rest.cons(4);	y = cons(4, rest(x))	[4, 1, 2]

关键观察点：，在最后一行中，x 和 y 共享了 [1, 2] 这个子链表的结构。内存中只有一个 [1, 2] 的副本，x 和 y 都指向它，但这是安全的共享，因为链表是不可变的

TypeScript 简写： 参数属性

class Cons<Element> implements ImList<Element> {
  public readonly first: Element;
  public readonly rest: ImList<Element>;

  public constructor(first: Element, rest: ImList<Element>) {
    this.first = first;
    this.rest = rest;
  }

  public cons(first: Element): ImList<Element> {
    return new Cons<Element>(first, this);
  }
}

TypeScript 提供了简写方式：在构造函数参数前加上 public / private / readonly，就能自动创建并初始化成员变量：

class Cons<Element> implements ImList<Element> {
  public constructor(
    public readonly first: Element,
    public readonly rest: ImList<Element>
  ) {
  }

  public cons(first: Element): ImList<Element> {
    return new Cons<Element>(first, this);
  }
}

这种写法同样适用于 private 字段，但要谨慎使用，因为直接把构造参数放进内部表示（rep）可能破坏封装性。

递归数据类型定义

抽象数据类型 ImList 以及它的两个具体类 Empty 和 Cons，共同构成了一个递归数据类型。 Cons 是 ImList 的一种实现，但它在自己的内部表示（rest 字段）中又使用了 ImList， 因此它在实现自身时递归地依赖于 ImList 的定义。

为了让这种关系更加直观，我们可以写出如下数据类型定义：

ImList<Element> = Empty + Cons(first: Element, rest: ImList<Element>)

这是一种递归的定义形式，表示 ImList 是一组值的集合。高层意义如下：集合 ImList 中的值可以有两种表示方式： 要么是一个 Empty 对象（没有字段），要么是一个 Cons 对象，其字段包括一个元素 first 和一个列表 rest（该 rest 也是一个 ImList）。

更详细地说：ImList<Element> 是一个泛型类型，对于任意类型 Element， ImList<Element> 集合中的值要么由 Empty 表示，要么由 Cons 表示， 而 Cons 对象包含两个字段： first（类型为 Element）与 rest（类型为 ImList<Element>）。

当我们使用这种定义方式书写时，数据类型的递归特性就会非常清晰。例如，我们可以用这种表达形式来表示任意的 ImList 值： 列表 [0, 1, 2] 可以写作：

Cons(0, Cons(1, Cons(2, Empty)))

我们还可以从基本情况（Empty）出发，通过递归地应用 Cons，构造出无限多种 ImList 值。例如，对于 ImList<boolean>：

构造层级	示例
基本情况	Empty
第一次递归	Cons(true, Empty)、Cons(false, Empty)
第二次递归	Cons(true, Cons(true, Empty))、Cons(true, Cons(false, Empty))、Cons(false, Cons(true, Empty))、Cons(false, Cons(false, Empty))
第三次及以后	Cons(true, ...)、Cons(false, ...) 等等

形式上，一个数据类型定义包括：

1. 左边的抽象数据类型（即我们定义的类型名）
2. 右边的表示（具体数据结构），由若干**变体（variant）**组成
3. 各个变体用加号 + 连接
4. 每个变体的写法是 类名(字段名: 字段类型)，字段可以为零个或多个

如果一个数据类型定义中，抽象类型在自己的定义中再次出现（例如字段的类型中），那么这个定义就是一个递归数据类型。

例如二叉树的定义：

Tree<Element> = Empty + Node(e: Element, left: Tree<Element>, right: Tree<Element>)

Tree 类型的值要么是 Empty，要么是 Node。 Node 包含一个元素 e（类型为 Element），以及左右两个子树。

这种定义方式称为代数数据类型（Algebraic Data Type, ADT）。在函数式编程中（如 Haskell、ML），代数数据类型的语法不同， 但核心思想相同：类型是多个变体的联合体（union），其中某些变体可能递归地引用自身。

在面向对象语言（如 TypeScript、Python、Java）中，我们通常用接口与类来实现这种结构。所以在写递归数据类型时，应该在实现类前加上类型定义说明，例如：

interface ImList<Element> {
    // ...
}

// 数据类型定义：
//   ImList<Element> = Empty + Cons(first: Element, rest: ImList<Element>)

class Empty<Element> implements ImList<Element> {
    // ...
}

class Cons<Element> implements ImList<Element> {
    // ...
}

递归数据类型的函数

这种看待数据类型的方式——把数据类型理解为由具体变体构成的递归定义——不仅能优雅地处理列表、树等递归或无限结构，还能为描述在这些数据类型上定义的操作提供一种自然的方式：每个变体对应函数的一个分支。

首先，看看数据类型定义如何映射到抽象接口与具体实现：

尚待补充的递归操作示例

当前来源笔记在这里中断，尚未给出递归函数如何分别处理 Empty 与 Cons 的完整实现，也缺少对终止性、结构递归和测试策略的展开。补充时应继续沿用不可变链表，并连接下一讲的文法与解析。