Lec 17 动态规划, Part 3: ASPS, Parens, Piano

总览

• Bellman-Ford SSSP
• Flayd-Wallshall APSP
• 算术括号问题
• 钢琴指法问题

单源最短路径：Bellman-Ford 算法

SRTBOT分析：

• Subproblems

  • 扩展子问题，使其无环
  • $\delta_k(s, v) = $ 从 s 到 v 的最短路径权重， 最多使用 k 条边
  • for $v∊V$ & $0<=k<=|V|$

• Relate

  • $𝛿\mathrm{\_}k(s,v)=min\{𝛿\mathrm{\_}k-1(s,u)+w(u,v)|u∊Adj(v)\}\cup {𝛿}_{k-1}(s,u)$

  • guessing "lost edge(u, v) on shortest s->v path"

观察到，𝛿_k(s, v) = 𝛿_{k-1}(s, u) + w(u, v)，这个递归不存在循环。如果随着k增长，都是满足上述等式，

• Topological order: increasing k

Topo order of G

• Base case: 𝛿_{0}(s, s) = 0 , 𝛿_{0}(s, v) = ∞ for v ≠ s

• Original: 𝛿_{|v| -1}(s, v) for v ∊ V: 𝛿_{|v|}(s,v) for neg-weight cycle detection

• Time:

  • 子问题数目：$|V|\times (|V|+1)$
  • 每个子问题的工作量${\delta }_k(s,v):O(de{g}_{in}(v))$
  • 总的时间：$\sum _{k=0}^{|V|}\sum _{v\in V}O(|de{g}_{in}(v)|)=\sum _{k=0}^{|V|}O(|E|)=O(|V|·|E|)$

全源最短路径: Floyd-Warshall 算法

弗洛伊德演算法。

顶点标上序号1, 2, ... |V|

• subprobs: d(u, v, k) = u->v最短路径的权重，其中仅用到在集合{u, v} ∪ {1, 2, ...,k}的顶点 for u, v ∊ V & 0 <= k <= |V|, θ(|V|^3)

• Relate: d(u, v, k) = $min\{d(u,v,k-1),d(u,k,k-1)+d(k,v,k-1)\}$

  • u --(1,...,k-1)---> v (第一种情况，不需要使用k).即 k ∉SP
  • u --(k-1)--->k, k ---(k-1)--->v, 即 k ∊SP

• topo: increasing k, for k = 0, 1, ... |v| for u ∉ V for v ∊V

• Base: S(u, v, 0) =

  1. 0 if u = v ;
  2. w(u,v) if (u, v) ∊ E
  3. ∞ otherwise

  并且假设没有负权重环

• Orignialfeas

钢琴指法问题

问题描述：

给定序列$t_0,t_1,...t_{n-1}$ 单音符，用右手弹奏，右手手指分别是1,2，...，f，给定过渡从音符t及其手指f，到音符t'及其手指f'的难度度量$d(t,f,t^{\prime },f^{\prime })$

• 如果$1 \lt f \lt f' $ 且 $t>t^{\prime }$，则是不舒适的
• 连续（平滑）演奏要求 $t=t^{\prime }$ （否则罚分是无限大）
• 弱指规则，尽量避免使用 $f^{\prime }\in \{4,5\}$
• $\{f,f^{\prime }\}=\{3,4\}$ 是令人烦恼的

目标： 为音符分配手指，以最小化总难度

第一次尝试SRTBOT分析：

• Subproblem

  • x(i) = 最小化的演奏难度分，弹奏音符为$t_i,t_{i+1},...,t_{n-1}$

• Relate

  • 猜测第一个手指， 给$t_i$ 分配 f 手指
  • $x(i)=min\{x(i+1)+d(t_i,f,t_{i+1},?)|1\le f\le F\}$
  • 没有足够的信息来填写 ？
  • 问题
    • 需要知道在开始$x(i+1)$时使用哪个手指
    • 不同的起始手指可能会影响 $x(i+1)$ 和 $d(t_i,f,t_{i+1},?)$​ 的结果
  • 解决方案
    • 需要一个表来映射起始手指到$x(i+1)$的最优解
    • 也就是说，需要通过起始条件来扩展子问题

最终解决方案SRTBOT分析：

• Subproblem

  • $x(i,f)$ 最小化的演奏难度分，弹奏音符为$t_i,t_{i+1},...,t_{n-1}$，并且手指f在字符$t_i$
  • For $0\le i<n$ 且 $1\le f\le F$

• Relate

  • 猜测下个手指： 将 f' 分配给 $t_{i+1}$
  • $x(i,f)=min\{x(i+1,f^{\prime })+d(t_i,f,t_{i+1},f^{\prime })|1\le f^{\prime }\le F\}$

• 拓扑顺序

  • 逐步减小 i （任何 f 顺序）

• Base

  • $x(n-1,f)=0$ 没有转换

• Original

  • $min\{x(0,f)|1\le f\le F\}$

• Time

  • Θ(n · F) subproblems
  • Θ(F) work per subproblem
  • $\Theta (n·F^2)$