Lec 14 Johnson's 算法

全源最短路径
Johnson's 算法

复习SSSP算法

我们主要学写了4个解决SSSP问题的算法，要解决最短路径问题，首先要定义和构造与你的问题相关的图，然后用其中一种算法来解决你的问题。一般来说，你会尽量用最快的方法，Bellman-Ford可以应用到任何加权图问题，但它是最慢的一个，因此我们会优选其他方法。

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我们针对单源最短路径（SSSP）问题介绍了这些算法，但在此过程中，我们还展示了如何使用这些算法来解决其他问题。例如，我们可以使用全量深度优先搜索（Full-DFS）或全量广度优先搜索（Full-BFS）来计算图中的连通分量，使用深度优先搜索（DFS）对有向无环图（DAG）中的顶点进行拓扑排序，并使用 Bellman-Ford 算法检测负权重环。

全源最短路径APSP

All-Pairs Shortest Paths(APSP)问题

输入：加权有向图G=(V, E)，加权函数 $w : E \to Z$
输出：返回所有的 $u, v \in V 的 δ (u, v)$ ，如果G存在负权重环则中止（因为对于任何一个 $δ (u, v) = - \infty$ ）。由此可以推断出，输出空间 $O (| V |^{2})$ ，因为需要知道每对顶点的加权最短路径
应用：对于了解整个网络很有用，比如传输、电路layout、供应链管理等
仅仅是用一个SSSP算法执行|V|次的效果也是挺好的，因为输出大小为 $O (| V |^{2})$
- 当权值为正且受限于O(|E|+|V|)时，用BFS的时间复杂度是|V|·O(|V|+|E|)
- 当图是DAG时，用DAG松弛的时间复杂度是|V|·O(|V|+|E|)
- 当权重非负且图为无向图时，用Dijkstra算法的时间复杂度为|V|·O(|V|log|V|+|E|)
- 对于一般情况用Bellman-Ford算法的时间复杂度为|V|·O(|V|·|E|)

方法

思路： 在保持最短路径性质的同时使得所有边权重非负。
也就是说，将图G重新加权到图G'，使得在G中的最短路径在G'中也是最短路径，并且G'中没有负权重。
- 如果没有负权重边，那么只需要运行|V|次Dijkstra算法就可以解决APSP问题。
- 为什么我们不需要考虑无向图？
  - 只需要检查每个边，如果有负权重，就代表有负权重环。线性时间即可
断言：可以在O(|V|(|V|+|E|))时间内从G'中的距离计算出G中的距离
- 对于每个 $s \in V$ ，计算最短路径树的距离，时间复杂度为O(|V| + |E|)
- 这也是G中最短路径树，所以在计算距离的同时通过DFS遍历树
- 需要O(|V|(|V|+|E|))时间（比运行|V|次Dijkstra算法的时间少）
但是，如何使 G' 具有非负边权重呢？这甚至可能吗？
断言：如果 G 包含负权重环，则这是不可能的
证明：如果没有负权重，最短路径是简单的，但如果有负权重环的最短路径是无限的，不是简单路径。这样是矛盾。

是权重变非负

给定一个具有负权重但没有负权重环的图 G，我们能在保留最短路径的同时使边权重非负吗？

思路1：将G中最小权重的负值加到每条边上！所有权重都变成非负的！ 😃
- 这样做无法保留最短路径，这样会偏向与遍历更少边的路径，（因为它给每条边都加了一个补偿值，路径越长，则更改后路径更长，不公平！）
思路2：给定顶点v，将h加到所有出边上，并从所有入边上减去h
断言1：最短路径在上述重新加权下得以保留
证明：
- 以 v 为起点的每条路径的权重变化为 h
- 以 v 为终点的每条路径的权重变化为 −h
- 经过 v 的路径的权重（局部）不变
这是一个非常通用且很有用的技巧，在保留最短路径性质的前提下转换图形！甚至可以对多个顶点起作用
定义一个势函数 $v : V \to Z$ ，将每个顶点 $v \in V$ 映射到一个势函数h(v)
构造图G'，与G相同，但边 $(u, v) \in E$ 的权重为 $w^{'} (u, v) = w (u, v) + h (u) - h (v)$
断言2: 在G中的最短路径在G’中也是最短路径
证明
- G中路径 $π = (v_{0}, . . ., v_{k})$ 的权重 $w (π) = \sum_{i = 1}^{k} w (v_{i - 1}, v_{i})$
- 在G'中 $π$ 的权重为 $\sum_{i = 1}^{k} (w (v_{i - 1}, v_{i}) + h (v_{i - 1}) - h (v_{i})) = w (π) + h (v_{0}) - h (v_{k})$
  - 每个内部顶点 i 都有正负相抵的 $h (v_{i})$
- 从 $v_{0}$ 到 $v_{k}$ 的每条路径的权重变化相同
- 因此，任何最短路径仍然是最短路径

我们能否找到这样的势函数，使得G'没有负权边？
即，能否存在一个h使得对于每个 $(u, v) \in E$ ，都有 $w (u, v) + h (u) - h (v) \geq 0$
- 将这个条件重新排列为 $h (v) \leq h (u) + w (u, v)$ ，看起来像是三角不等式！
思路：如果将 $h (v) 设置为某个路径的 δ (s, v)$ 且 $δ (s, v)$ 有限的，则条件将会满足
- 但是图可能是不连通的，所以可能不存在这样的顶点s
新办法：添加一个新顶点s，并向每个 $v \in V$ 添加一个权重为0的有向边，即添加新顶点s指向图中所有的顶点的边。
对于所有的 $v \in V, δ (s, v) \leq 0$ ，因为存在权重为0的路径。
断言：如果 $δ (s, v) = - \infty$ 对于任何 $v \in V$ 成立，那么原图中一定有负权重环
证明
- 添加s并不会引入新的环(s没有入边)
- 所以，如果重新加权后图有负权重环，则原图中也有
或者，如果对于所有 $v \in V, δ (s, v)$ 有限：
- 根据三角不等式，对于每个 $(u, v) \in E$ ，有 $w^{'} (u, v) = w (u, v) + h (u) - h (v) \geq 0$
- 重新加权后的G‘中的新权重是非负的，同时保留了最短路径

Johnson's 算法

本质上是规约算法
- 将权值可能是正或负ASPS问题，规约成具有相同最短路径性质，且只有非负权重边的图问题
算法步骤

从G构造 $G_{x}$ ，通过添加顶点x连接到每个顶点 $v \in V$ 并设置权重为0
计算 $δ_{x} (x, v), f o r e a c h v \in V$ (使用Bellman-Ford算法)
有两种情况
1. if $\exist v \in V$ ， $δ_{x} (x, v) = - \infty$ :
  - 中止（因为G中存在负权重环）
2. else: 重新加权每条边 $w^{'} (u, v) = w (u, v) + δ_{x} (x, u) - δ_{x} (x, v)$ 以形成图G'
对于每个 $u \in V$ :
- 计算G'中所有顶点v的最短距离 $δ^{'} (u, v)$ （使用Dijkstra算法）
- 对于所有 $v \in V$ ，计算 $δ (u, v) = δ^{'} (u, v) - δ_{x} (x, u) + δ_{x} (x, v)$ 即可得到图G的关于顶点u的SSSP的解

正确性证明

已经证明从 G 到 G' 的转换保留了最短路径
剩下的归结为 Bellman-Ford 和 Dijkstra 算法的正确性
从带负数权值的 APSP 到非负的 APSP 的简化

时间复杂度分析

构造 $G_{x}$ 需要 O(|V| + |E|) 时间
Bellman-Ford 算法需要 O(|V||E|) 时间
构造 G' 需要 O(|V| + |E|) 时间
运行 V 次 Dijkstra 算法需要 $O (| V | \cdot (| V | \log | V | + | E |))$ 时间
计算从 G' 中的距离到 G 中的距离需要 O(|V|^2) 时间
总时间复杂度为 $O (| V |^{2} \log | V | + | V | | E |)$

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全源最短路径APSP ​

方法 ​

是权重变非负 ​

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正确性证明 ​

时间复杂度分析 ​