Lec 13 Dijkstra's 算法

• 非负权重边
• Dijkstra's 算法

非负权重边

• 思路： 将BFS的方法推广到加权图
  • 以源点s为中心扩展球面
  • 反复搜索更近的顶点，然后再搜索更远的顶点
  • 但如果事先不知道距离，如何搜索更近的点？
• 观察1： 如果权重非负，则沿着最短路径的距离单调增加
  • 即，如果顶点u出现在s到v的最短路径上，则$\delta (s,u)\le \delta (s,v)$
  • 设 $V_x\subset V$ 是从s出发可到达的距离 $\le x$ 的顶点子集（分层子集）
  • 如果$v\in V_x$，则从s到v的任何最短路径经过的顶点都在$V_x$内
  • 或许可以一次扩展一个顶点来增长$V_x$​（ 但是如果权重很大，为每个x扩展会很慢）
• 观察2： 如果给定从s出发按距离递增顺序排列的顶点，可以快速解决SSSP问题
  • 移除违反此顺序的边（因为有些边不能参与最短路径）
  • 如果存在零权重边，可能仍然会有环： 反复合并成单个顶点
  • 使用DAG松弛法在O(|V| + |E|)时间内计算出每个$v\in V$的$\delta (s,v)$

Dijkstra’s 算法

• 思路： 从源点s出发到各顶点的距离递增顺序松弛边

• 如何做到按距离递增？ 用一种数据结构能有序地找到下一个顶点，比如 可变优先队列Q，其数据项带有键和唯一ID，支持的操作有

  操作	描述
  Q.build(X)	用迭代器 X 中的项初始化 Q
  Q.delete_min()	删除键最小的项
  Q.decrease_key(id, k)	找到具有ID id 的存储项并将键更改为 k

• 通过交叉链接(cross-linking)优先队列Q'和一个字典D将ID映射到Q‘中

• 假设顶点是ID从0到 |V| -1 的证书，因此可以使用直接访问数组来实现字典D

• 为了简洁起见，假设数据项x是一个元祖(x.id, x.key)