Lec 12 Bellman-Ford

这节课介绍一个基于图复制和DAG松弛Bellman-Ford版本算法，这个算法能够以$O(|V||E|)$的时间复杂度和空间复杂度下解决SSSP问题的，并且能够返回从 s 到 v 的路径上可达的负权环，对于任何满足$\delta (s,v)=-\mathrm{\infty }$都适用

• 简单最短路径
• 负权重环见证者
• Bellman-Ford算法

复习

给定无向图G， 返回G是否包含负权重环？

Solution: 如果G中存在一条负权重边，则返回Yes，时间复杂读O(|E|)

因此本讲中，讨论限制为有向图。

给定运行时间为O(|V|(|V| + |E|))的SSSP算法A，展示如何在它O(|V||E|)时间内解决SSSP问题。

Solution：

• 运行BFS或者DFS找到从s可达的顶点，时间复杂度为O(|E|)

• 将每个s不可达的顶点标记为$\theta (s,v)=\mathrm{\infty }$​，时间复杂度为O(|V|)

• 构建图G’=(V', E')，其中仅包含从s可达的顶点，时间复杂度为O(|V|+|E|)

• 在G‘上从s运行A

• G'是连通的，所以|V'| = O(|E'|) = (|E|)，因此A的运行时间是O(|V||E|)

简单最短路径

• 如果图中包含环和负权重，可能会有负权重环
• 如果图中不包含负权重环，则最短路径是简单的
• 断言1：如果$\delta (s,v)$是有限的，则存在一条道v的简单路径。
• 证明： 通过反证法
  • 假设没有简单的最短路径，设$\pi$为具有最少顶点的简单路径
  • $\pi$不是简单路径，所以$\pi$中存在环C； C具有非负权重（否则$\delta (s,v)=-\mathrm{\infty }$)
  • 去掉$\pi$中的C形成路径${\pi }^{\prime }$，其顶点更少且权重w(${\pi }^{\prime }$) $\le$ w($\pi$​)
• 由于简单路径不能重复顶点，有限的最短路径最多包含|V| - 1条边。

负权重环见证者

• k-edge 距离${\delta }_k(s,v)$: 从s到v使用不超过k条边的任意路径的最小权重
• 思路： 计算所有的$v\in V$的${\delta }_{|V|-1}(s,v)\mathrm{和}{\delta }_{|V|}(s,v)$​
  • 如果$\delta (s,v)\ne -\mathrm{\infty }$则$\delta (s,v)={\delta }_{|V|-1}(s,v)$， 因为最短路径是简单的（或者不存在）
  • 如果${\delta }_{|V|}(s,v)<{\delta }_{|V|-1}(s,v)$
    • 存在一条更短的非简单路径v，所以${\delta }_{|V|}(s,v)=-\mathrm{\infty }$
    • 成v为（负环）见证者
    • 但是可能存在最短路径权重为$-\mathrm{\infty }$但不是见证者的顶点
• 断言2： 如果$\delta (s,v)=-\mathrm{\infty }$，则v可从一个见证者到达
• 证明： 只需证明： 从s可到达的每个负权重环都包含一个见证者
  • 考虑一个从s可到达的负权重环C
  • 对于C中的每个顶点v，令v'为v在C中的前驱，其中$\sum _{v\in C}w(v\prime ,v)<0$
  • 则${\delta }_{|V|}(s,v)\le {\delta }_{|V|-1}(s,v^{\prime })+w(v^{\prime },v)$（右边为某条不超过|V|个顶点的路径的权重
  • 所以${\delta }_{|V|}(s,v)\le {\delta }_{|V|-1}(s,v^{\prime })+w(v^{\prime },v)<{\delta }_{|V|-1}(s,v)$​
  • 如果C中不包含见证者，则对所有$v\in C$，满足${\delta }_{|V|}(s,v)\ge {\delta }_{|V|-1}(s,v)$​，这就产生了矛盾

Bellman-Ford算法

原始的Bellman-Ford算法较为简单，但是功能稍弱。它仅使用O(|V|)的空间，以相同的时间复杂度解决SSSP问题，但是只能检测负权环是否存在。它基于松弛框架。算法很直接，首先初始化距离估计，然后再图中进行$|V|-1$轮松弛操作。这个算法的主张是，如果图中不存在负权环，在算法结束时，对于所有的顶点$v\in V$， 有$d(s,v)=\delta (s,v)$​，否则，如何仍有任何边可松弛，则图中包含一个负权环

def bellman_ford(Adj, w, s):
  # 初始化
	infinity = float('inf')
  d = [infinity for _ in Adj]
  parent = [None for _ in Adj]
  d[s], parent[s] = 0, s
  V = len(Adj)
  for k in range(V-1):
    for u in range(V):
      for u in Adj(u):
        try_to_relax(Adj, w, d, parent, u, v)
  for u in range(V):
    for v in Adj[u]:
      if d[v] > d[u] + w(u, v):
        raise Exception('Ack! There is a negative weight cycle!')
  return d, parent

该算法的总体结构与通用的松弛范式相同，但吸纳值了可以处理边的顺序。具体来说，算法在$|V| - 1 $​轮次中，松弛了图中的每条边，以下引理证明了该算法的正确性。

【引理】在 Bellman-Ford 算法的第 i 轮松弛结束时，对于任意顶点v，如果从s到v的最短路径经过至多 i 条边，那么$d(s,v)=\delta (s,v)$

证明： 对 i 轮的归纳证明。 在算法开始时，唯一从s出发且经过至多0条边的顶点是s，基本情况成立，假设在第$i-1$轮结束时命题成立。令 v 是从s到v的最短路径经过至多 i 条边的顶点。如果 v 有一条经过至多 i - 1 条边的最短路径，那么在第 i 轮之前 $d(s,v)=\delta (s,v)$，并且在第 i 轮结束时仍然成立，这依据是上界性质