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Lec 9惯性感知（Inertial Sensing）

讲义完成更新于 2026-08-27

摘要

• 加速度计（Accelerometer）：测量线加速度（含重力分量），3 轴

承接Lec 8 · 自动驾驶汽车（Self-Driving Cars）
后续Lec 10 · 坑洞检测（Pothole Detection / Pothole Patrol）

Lec 9 惯性感知（Inertial Sensing）

MIT 6.1820/MAS.453 · Mobile and Sensor Computing IMU、航位推算与传感器融合

1. 惯性测量单元（IMU, Inertial Measurement Unit）

1.1 组成

定义 — IMU 组成

标准 IMU 包含三类传感器：

• 加速度计（Accelerometer）：测量线加速度（含重力分量），3 轴

• 陀螺仪（Gyroscope）：测量角速度，3 轴

• 磁力计（Magnetometer）：测量地磁方向，3 轴

合计 9 自由度（9-DOF）传感。

2. MEMS 加速度计原理

定义

定义 — MEMS 加速度计（MEMS Accelerometer）

微机电系统（MEMS, Micro-Electro-Mechanical Systems）加速度计通过弹簧-质量块结构感知加速度，再通过电容变化转换为电信号。

2.1 力学原理

设质量块质量为 mm，弹簧常数为 kk，质量块在加速度 aa 下产生位移 xx：

F=ma=kx  ⟹  x=m⋅akF = ma = kx \implies x = \frac{m \cdot a}{k}

位移 xx 改变了差分电容（Differential Capacitor）：

ΔC=C0⋅xd0\Delta C = C_0 \cdot \frac{x}{d_0}

其中 d0d_0 为平衡位置电容极板间距，C0C_0 为平衡电容。

推论

MEMS 加速度计同时感知外部加速度和重力加速度（g=9.8g = 9.8 m/s²）。静止时，三轴读数的合矢量为 gg，可用于确定设备绝对倾斜角（Tilt）。

3. MEMS 陀螺仪原理

定义

定义 — 科里奥利力（Coriolis Effect）

在旋转参考系中，沿某方向运动的质点会受到垂直于运动方向的科里奥利力：F⃗c=−2m(Ω⃗×v⃗)\vec{F}_c = -2m(\vec{\Omega} \times \vec{v})，其中 Ω⃗\vec{\Omega} 为旋转角速度，v⃗\vec{v} 为质点速度。

MEMS 陀螺仪内部维持一个已知方向振动的质量块，旋转时产生的科里奥利力导致垂直方向位移，通过电容测量得到角速度 Ω\Omega。

4. 自由度（Degrees of Freedom）

6 自由度（6-DOF）运动包含：

类型轴测量传感器
平移（Translation）X, Y, Z加速度计
旋转（Rotation）偏航（Yaw）, 俯仰（Pitch）, 滚转（Roll）陀螺仪

姿态=[Yaw(ψ),  Pitch(θ),  Roll(ϕ)]\text{姿态} = [\text{Yaw}(\psi),\; \text{Pitch}(\theta),\; \text{Roll}(\phi)]

5. 航位推算（Dead Reckoning）

定义

定义 — 航位推算（Dead Reckoning）

从已知初始位置出发，通过持续积分速度（或加速度）来推算当前位置，无需外部参考信号。

5.1 积分过程

步骤 1：积分角速度 → 姿态

θ(t)=θ(0)+∫0tΩ(τ) dτ\theta(t) = \theta(0) + \int_0^t \Omega(\tau)\, d\tau

步骤 2：用姿态将加速度坐标转换到世界坐标系（Body to World Frame）

aworld=R(θ)⋅abody\mathbf{a}_\text{world} = R(\theta) \cdot \mathbf{a}_\text{body}

其中 R(θ)R(\theta) 为旋转矩阵。

步骤 3：减去重力

alinear=aworld−g\mathbf{a}_\text{linear} = \mathbf{a}_\text{world} - \mathbf{g}

步骤 4：积分线加速度 → 速度 → 位置

v(t)=v(0)+∫0talinear dt,p(t)=p(0)+∫0tv dt\mathbf{v}(t) = \mathbf{v}(0) + \int_0^t \mathbf{a}_\text{linear}\, dt,\quad \mathbf{p}(t) = \mathbf{p}(0) + \int_0^t \mathbf{v}\, dt

5.2 漂移问题（Drift）

例题 — 积分漂移估算

设加速度计偏置（Bias）为 b=0.01 m/s2b = 0.01\text{ m/s}^2，积分 60 秒后位置误差：

Δp=12bt2=12×0.01×602=18 m\Delta p = \frac{1}{2} b t^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times 60^2 = 18\text{ m}

Sol：仅 1 分钟后位置误差就达到 18 m，说明纯 IMU 无法长期独立工作，需要外部修正（GPS、磁力计等）。

推论 — 偏置积分误差增长规律

速度误差 ∝bt\propto bt，位置误差 ∝bt2\propto bt^2。这意味着 IMU 的位置误差随时间平方增长，是纯惯性导航无法长期使用的根本原因。

6. 传感器融合（Sensor Fusion）

单一传感器各有缺点：

传感器优点缺点
IMU高频、无延迟长期漂移
GPS绝对位置精度10–30 m 误差，室内失效，低频（1 Hz）
磁力计提供绝对方向受金属、电磁干扰

**卡尔曼滤波（Kalman Filter）**是融合多传感器的经典方法：

x^k∣k=x^k∣k−1+Kk(zk−Hx^k∣k−1)\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k(z_k - H\hat{x}_{k|k-1})

其中 KkK_k 为卡尔曼增益，zkz_k 为观测值（GPS 位置），x^k∣k−1\hat{x}_{k|k-1} 为 IMU 预测状态。

**互补滤波（Complementary Filter）**的直觉：

θ^=α⋅(θ^+Ω⋅dt)+(1−α)⋅θaccel\hat{\theta} = \alpha \cdot (\hat{\theta} + \Omega \cdot dt) + (1-\alpha) \cdot \theta_\text{accel}

  • 陀螺仪短期精度高 → 权重 α\alpha 高
  • 加速度计长期无漂移 → 低频修正偏置

7. 捷联惯导系统（Strapdown Navigation）

在飞机、导弹等高精度应用中，IMU 固定在载体上（Strapped Down），每秒更新数百次，配合高精度陀螺仪（光纤陀螺，FOG）可在 GPS 失效时保持数分钟厘米级精度。

本讲小结

IMU 通过 MEMS 弹簧-电容结构测量加速度、通过科里奥利效应测量角速度；航位推算通过二次积分推算位置，但偏置引起的误差随时间平方增长；实用系统必须将 IMU 与 GPS 或其他绝对参考通过卡尔曼滤波融合，才能同时保证短期响应速度和长期定位精度。