Archipelago

期望效用的失败与前景理论的价值函数

讲义完成更新于 2026-09-29
承接Lec 23 · 行为主体下的政策设计
后续社会偏好——分配偏好、面子与意图、田野证据

Lec 7-8 期望效用的失败与前景理论的价值函数（Risk Preferences: Expected Utility and Prospect Theory）

MIT 14.13 · Psychology and Economics · 主讲 Frank Schilbach

TL;DR

  • 期望效用理论（EUT）在小额赌局中的反常，被拉宾校准定理证明无法仅用财富边际效用递减解释。
  • 引入前景理论（Prospect Theory）：以现状为参照点的 S 型价值函数与倒 S 型概率加权函数。
  • 阐释损失厌恶（Loss Aversion）机制及其在风险决策中引致的风险规避与风险偏好反转。
  • 运用概率权重解释买彩票（高估小概率收益）与买保险（高估小概率损失）的共存现象。

期望效用理论：风险厌恶的标准解释

许多重要的经济决策都涉及风险和不确定性，例如升学、健康、金融投资、备考、约会、骑车；与此相对，购买保险、戴头盔、避开危险地带等选择则是在降低风险。三个"程式化事实"（stylized facts）勾勒出人们对风险的复杂态度：

  1. 人们普遍表现出风险厌恶——保险行业、社会保障、大家庭互助、分成制、非正式保险等制度的存在都以此为前提。
  2. 降低风险是有代价的——人们也愿意为更高的（预期）回报承担风险，例如投资指数基金甚至更激进的资产；金融业的一个核心功能正是风险中介（risk intermediation），把风险从企业转移给愿意承担风险以换取回报的投资者。
  3. 人们也愿意主动承担某些风险——买彩票、赌场博彩、体育博彩都是例子。

期望效用理论（expected utility theory）是解释这些现象的主力模型。考虑一个赌局（gamble）GG：以概率 pp获得货币收益 xx，以概率 1−p1-p 获得 yy。这个赌局的期望货币价值（expected monetary value, EMV）是

EMV(p,x)=px+(1−p)y,\text{EMV}(p, x) = px + (1-p)y,

而期望效用（expected utility, EU）则是

EU(p,x)=p u(x)+(1−p) u(y).\text{EU}(p, x) = p\, u(x) + (1-p)\, u(y).

若 u(⋅)u(\cdot) 是线性函数，两者给出相同的排序；因此可以用 EMV 定义"风险中性"（risk-neutral）：决策者对任何赌局 GG，都在 GG 本身和获得 EMV(G)\text{EMV}(G) 之间无差异，当且仅当 u(⋅)u(\cdot) 线性。类似地，风险厌恶（risk-averse）决策者始终偏好确定获得 EMV(G)\text{EMV}(G)，而非赌局本身；风险偏好（risk-loving）者则相反。

凹性与风险厌恶

效用函数 u(⋅)u(\cdot) 是凹的（concave），当且仅当对任意 x,yx, y 与 p∈(0,1)p \in (0,1)，有

u(px+(1−p)y)≥p u(x)+(1−p) u(y).u(px + (1-p)y) \ge p\,u(x) + (1-p)\,u(y).

若 u(⋅)u(\cdot) 二阶可微，凹性等价于 u′′(⋅)<0u''(\cdot) < 0，即边际效用递减（diminishing marginal utility）。几何上，连接 (x,u(x))(x, u(x)) 与 (y,u(y))(y, u(y)) 的弦位于曲线下方：财富组合 px+(1−p)ypx+(1-p)y 的效用高于各点效用的加权平均，这正是风险厌恶的来源——赌一把带来的效用损失超过其带来的效用收益。

是否接受一个赌局

一个财富为 $10,000 的人面对赌局：50% 概率赢 $500，50% 概率输 $400。

  • EMV(接受)=0.5×9,600+0.5×10,500=10,050>10,000=EMV(拒绝)\text{EMV}(\text{接受}) = 0.5 \times 9{,}600 + 0.5 \times 10{,}500 = 10{,}050 > 10{,}000 = \text{EMV}(\text{拒绝})，风险中性者会接受。
  • 但按期望效用，是否接受取决于 u(⋅)u(\cdot) 的凹性程度：EU(接受)=0.5 u(9,600)+0.5 u(10,500)\text{EU}(\text{接受}) = 0.5\,u(9{,}600) + 0.5\,u(10{,}500) 是否大于 u(10,000)u(10{,}000)，凹性越强越可能拒绝。 :::

测量风险厌恶：绝对与相对风险厌恶系数

为量化"多凹"，经济学定义了两个常用测度：

绝对风险厌恶（ARA）： r(x)=−u′′(x)u′(x),相对风险厌恶（RRA）： γ(x)=−x u′′(x)u′(x)=x⋅r(x).\text{绝对风险厌恶（ARA）：}\ r(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)}, \qquad \text{相对风险厌恶（RRA）：}\ \gamma(x) = -\frac{x\,u''(x)}{u'(x)} = x\cdot r(x).

γ\gamma 可理解为 u′(x)u'(x) 关于 xx 的弹性：γ=∂u′(x)∂x⋅xu′(x)\gamma = \dfrac{\partial u'(x)}{\partial x}\cdot\dfrac{x}{u'(x)}。经济学中常用两类效用函数：

CARA（常绝对风险厌恶）： u(x)=−e−rxr,CRRA（常相对风险厌恶）： u(x)={x1−γ1−γ,γ≠1ln⁡x,γ=1\text{CARA（常绝对风险厌恶）：}\ u(x) = -\frac{e^{-rx}}{r}, \qquad \text{CRRA（常相对风险厌恶）：}\ u(x) = \begin{cases}\dfrac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}, & \gamma \ne 1\\ \ln x, & \gamma = 1\end{cases}

CRRA 意味着投资者会把财富中固定比例配置到风险资产上，无论财富水平如何，因而在应用中最常见。

估计 γ\gamma 有三种思路：

  1. 确定性等价（certainty equivalent）：假设财富以 50% 概率是 $50,000，50% 概率是 $100,000（期望财富 $75,000），询问受访者愿意接受的确定金额 WCEW_{CE}，再反解使 u(WCE)=12u(50,000)+12u(100,000)u(W_{CE}) = \tfrac12 u(50{,}000) + \tfrac12 u(100{,}000) 成立的 γ\gamma。经验上，WCEW_{CE} 越接近期望值，隐含的 γ\gamma 越小；例如 W_{CE}=\58{,}566对应对应\gamma \approx 5，，W_{CE}=$51{,}209对应对应\gamma \approx 30。像。像 \gamma=30这样的取值会隐含极端保守的行为（"甚至不敢出门"），而多数应用假设这样的取值会隐含极端保守的行为（"甚至不敢出门"），而多数应用假设\gamma \in (0,2)$（如 Chetty 2006）。
  2. 小额赌局中的选择：若一个财富 $20,000 的人拒绝"50% 赢 $110，50% 输 $100"的赌局，可反解出 γ>18.2\gamma > 18.2——一个远超合理区间的值。
  3. 保险选择：见下节。

γ\gamma 小额赌局隐含极端的风险厌恶（γ\gamma 常超过 20），而大额赌局或保险选择隐含中等风险厌恶（γ∈(0,2)\gamma \in (0,2)）。单一凹效用函数无法同时匹配这两类行为——这正是下文 Rabin（2000）论证的起点。

Rabin（2000）：小额风险厌恶蕴涵荒谬的大额行为

Rabin 的论证只依赖凹性假设，不对 u(⋅)u(\cdot) 的具体形式做任何限定，却能推出极端结论。

Rabin 的校准悖论

假设一个（弱）风险厌恶的期望效用最大化者 Johnny（u′′(⋅)≤0u''(\cdot)\le 0），无论初始财富 ww 为多少，都拒绝"50% 输 $10、50% 赢 $11"的赌局。那么可以证明，Johnny 也会拒绝任何"50% 输 $100、50% 赢 YY"的赌局，即使 YY 是 2500 万美元。

推导思路：拒绝该赌局意味着

0.5 u(w+11)+0.5 u(w−10)<u(w)  ⟹  u(w+11)−u(w)<u(w)−u(w−10).0.5\,u(w+11) + 0.5\,u(w-10) < u(w) \;\Longrightarrow\; u(w+11)-u(w) < u(w)-u(w-10).

也就是说，Johnny 对 ww 到 w+11w+11 之间每一美元的重视程度，平均不超过 w−10w-10 到 ww 之间每一美元的 1011\tfrac{10}{11}。凹性又意味着 w−10w-10 处的边际美元至少和 ww 处一样值钱，ww 处的边际美元又至少和 w+11w+11 处一样值钱；把这个论证向前推进 21 美元一步（w+21w+21 处依然面临同样的拒绝决策），边际效用会以每 21 美元约 10% 的速度递减：

财富 w+21n 处的边际效用≲(1011)2n×财富 w 处的边际效用.\text{财富 } w+21n \text{ 处的边际效用} \lesssim \left(\frac{10}{11}\right)^{2n} \times \text{财富 } w \text{ 处的边际效用}.

当 nn 增大（例如财富增加 $840 时，比例降到约 2%），边际效用会以指数速度崩溃。这样的边际效用曲线意味着面对任意大的收益 YY，Johnny 仍会拒绝"输 $100/赢 YY"的赌局——这在直觉上是荒谬的（absurd）。Rabin and Thaler（2001）给出了这一论证的简化版本，并整理出一张对照表：只要在低财富水平上一贯拒绝某个小额有利赌局，就必然在高财富水平上拒绝几乎任何大小的有利赌局。

期望效用理论无法同时解释小额和大额风险行为

Rabin 的论证说明：用凹效用函数解释"人们拒绝小额有利赌局"这一现象，代价是必须承认人们在大额赌局上也应极度厌恶风险——但现实中人们并不回避大额有利风险（购房贷款、创业、股票投资等）。这暗示：小额赌局中的"风险厌恶"另有成因，而非单纯的边际效用递减。

保险选择中的隐含风险厌恶（Sydnor, 2010）

为避免实验室赌局的外部效度质疑，Sydnor（2010）使用一家大型家庭保险公司的真实数据：5万份标准保单、一年内的免赔额（deductible，即保险公司理赔前需自付的费用，用于抑制琐碎索赔）选择和实际索赔记录。

保单持有人在 $1,000、$500、$250、$100 四档免赔额之间选择，每降低一档免赔额都需要支付更高保费。数据显示：

  • 索赔率很低，约为每年 4%。
  • 但降低免赔额的保费溢价很高：把免赔额从 $1,000 降到 $500 平均多付 $99.91，从 $250 降到 $100 平均多付 $133.22。
  • 尽管如此，多数人依然选择低免赔额（尤其是投保年限较长的客户）。

个人选择合同 jj（保费 PjP_j、免赔额 DjD_j）以最大化期望间接效用：

V(w,P,D,π)=π⋅u(w−P−D)+(1−π)⋅u(w−P),V(w, P, D, \pi) = \pi \cdot u(w-P-D) + (1-\pi)\cdot u(w-P),

其中 π\pi 是当年发生损失的概率。用观测到的选择反解 CRRA 效用函数中的 γ\gamma，发现：例如财富 w=\50{,}000时，几乎所有估计都给出时，几乎所有估计都给出\gamma > 100——远超前述保险应用中常见的——远超前述保险应用中常见的 \gamma \in (0,2)$。

新古典解释无法说明低免赔额选择

Sydnor 逐一排除了传统解释：高风险厌恶蕴涵不合理的 γ\gamma；索赔概率虽被高估，但即便如此也不足以解释选择模式；借贷约束也不太可能（能负担较贵房屋的家庭通常不缺现金）。行为解释（风险误判、营销压力、菜单效应）同样站不住脚——例如菜单效应无法解释为何选 $250 而非 $500。作者认为最合理的解释是参考依赖偏好/损失厌恶：见下节。

前景理论：参考依赖与损失厌恶

Kahneman and Tversky（1979）用以色列大学生和教职工为对象，设计了一系列高风险的假设选择问题，发现了与期望效用理论直接矛盾的证据。

增益与损失下的风险态度逆转

  • 问题 3：50%概率 4,000 或什么都没有 vs. 3,000 确定获得。绝大多数人选择安全的 3,000（尽管 EMV(赌局)=3,200>3,000\text{EMV}(\text{赌局})=3{,}200 > 3{,}000），表现出风险厌恶。
  • 问题 3'：把上述数字全部取负（即变成损失），50%概率损失 4,000 或什么都没有 vs. 确定损失 3,000。多数人此时选择赌一把（尽管其 EMV 为 −3,200-3{,}200，比确定损失 −3,000-3{,}000更差），表现出风险偏好。

同一批人对收益表现出风险厌恶，对损失表现出风险偏好，这与期望效用理论假设的（弱）凹效用函数直接矛盾。

框架效应（framing）实验进一步说明参考点会改变选择：先给受试者 1,000（或 2,000），再要求在赢/亏两种赌局中选择，最终财富状态其实与直接给出较小额度赌局完全等价，但受试者并不把"已获赠的初始金额"与后续风险选项相加考虑，而是把后续赌局本身单独框定为"收益"或"损失"，从而在两种客观等价的情形下做出不同选择。

Kahneman & Tversky（1979）三条核心原则

  1. 变化而非水平：效用的载体是财富或福利的变化（changes），而非最终状态（final states）——这与知觉判断的基本原理相符。
  2. 损失厌恶（loss aversion）：损失比同等大小的收益带来更强烈的心理反应——"损失一笔钱带来的懊恼，通常大于获得同等金额带来的愉悦"。
  3. 敏感度递减（diminishing sensitivity）：人们在收益区间表现为风险厌恶，在损失区间表现为风险寻求，这与许多感知维度上"变化幅度越大、边际辨别力越弱"的规律一致（例如区分 3°C 与 6°C 的温差比区分 13°C 与 16°C 的温差更容易）。 :::

这三条原则被整合进一个新的"价值函数"（value function）v(c−r)v(c-r)，其中 cc 是结果、rr 是参考点：函数在零点（即 c=rc=r）处出现拐折且左侧更陡峭（体现损失厌恶），在收益区间凹、在损失区间凸（体现敏感度递减）。

效用不再直接依赖消费或财富的绝对水平，而依赖相对某个"参考水平"或"参考点"的变化。这一构造能同时解释小额赌局中的极端风险厌恶（因为小额损失落在陡峭的损失侧）与大额风险中的适度风险厌恶（因为大额变化主要由凹/凸曲率而非拐折主导）。

参考依赖是普遍的知觉现象

参考依赖并非只在货币决策中出现，而是感知和判断的通用特征：大小对比错觉（一个圆被更大的圆包围时显得更小）、铁轨透视错觉（视觉上等长的线段因背景不同而显得不等长）、棋盘阴影错觉（因周围色块不同，同色方格被感知为不同深浅）都是同一机制的体现——大脑习惯用比较判断，而非绝对测量。

社会比较也体现参考依赖：Medvec et al.（1995）发现，奥运会铜牌得主平均比银牌得主看起来更快乐——银牌得主的参考点是"差一点拿金牌"，铜牌得主的参考点则是"差一点无奖牌"。类似地，判断两杯水哪杯更热，比判断单杯水的绝对温度容易得多——比较性判断（comparative judgments）远比绝对判断（absolute judgments）容易，这一原理同样适用于对收入、消费等经济结果的评价：判断自己的收入是否高于朋友，比判断"多少收入才够过上满意生活"要容易得多。

损失厌恶的进一步证据：禀赋效应与风险决策

参考依赖框架下的损失厌恶还预测了一系列超出风险决策范畴的行为：

  • 禀赋效应（endowment effect）：拥有一件物品后，个体几乎立即对其估值上升，导致买价（willingness to pay）显著低于卖价（willingness to accept）。Kahneman, Knetsch, and Thaler（1990）的经典实验中，随机分配马克杯或钢笔给学生后提供互换机会，大多数人选择保留自己被分配到的物品（马克杯持有者中仅 12% 愿意交换，钢笔持有者中仅 10% 愿意交换），尽管未被赋予物品前对两者的偏好大致均分。这可以理解为：马克杯持有者的参考点是"拥有马克杯、没有钢笔"，交换被评价为"损失一个马克杯、获得一支钢笔"，损失厌恶使人倾向保留现状。
  • 损失厌恶延伸到非货币领域：法学院学生被要求评估"已受伤"情境下的合理赔偿金额（平均 $151,448），显著低于被要求评估"若接受受伤应获多少补偿"情境下的金额（平均 $331,042）——后者相当于要求从无伤害的参考点接受一项损失，因而索价更高。
  • 风险决策上的损失厌恶：即便在大额赌局中，人们依然显著回避"50% 赢 $550/50% 输 $500"这样期望值为正但涉及潜在损失的赌局；Barberis, Huang, and Thaler（2006）向 MBA 学生、金融分析师和财富约 $1000万的投资者提供真实的此类赌局，71% 的投资者依然拒绝。

敏感度递减的价值函数形式

一个常用的例示性价值函数是

v(x)={x,x>0−2∣x∣,x<0v(x) = \begin{cases}\sqrt{x}, & x>0\\ -2\sqrt{|x|}, & x<0\end{cases}

它在零点两侧都体现凹/凸性质（收益区间凹、损失区间凸），且损失侧的斜率整体更陡，体现损失厌恶。这一函数形式仅是教学示例，实际应用中的参数需依据具体数据估计。

参考依赖偏好已被应用于劳动供给（出租车司机的每日收入目标）、住房市场（卖家在账面亏损时的挂牌行为）、股票交易的处置效应、马拉松和高尔夫中的目标导向努力、家庭暴力（球队意外失利后的情绪波动）等诸多场景——这些应用将在下一讲（Lec 9）具体展开，其中一个尚未解决的关键问题是：参考点本身是如何形成、又如何随时间演化的？

官方资源与参考

我的理解

拉宾校准定理（Rabin Calibration Theorem）有力击碎了用期望效用理论解释日常风险态度的尝试：若将小额赌局的规避归因于财富边际效用递减，将推导出宏观财富尺度上荒谬绝伦的风险厌恶。前景理论通过以现状为参照点的 S 型价值函数与倒 S 型概率加权函数，从根本上重建了解释保险、彩票与资产定价的微观基石。