Lec 13 无限重复博弈与触发策略（Infinitely Repeated Games）

MIT 14.12 · Economic Applications of Game Theory · 主讲 Ian Ball

TL;DR

• 无限重复博弈消除确定的终点，引入跨期贴现因子 $\delta \in (0, 1)$。
• 冷酷触发策略（Grim Trigger）：以永久背叛惩罚换取合作，推导维系合作的临界贴现阈值 $\delta^*$。
• 以牙还牙（Tit-for-Tat）与有限期宽恕策略：分析抗噪容错性与抵生报复机制。

核心概念与数学形式化

囚徒困境的冷酷触发策略分析

设阶段博弈收益矩阵：

	合作 $C$	背叛 $D$
合作 $C$	$(1, 1)$	$(-1, 2)$
背叛 $D$	$(2, -1)$	$(0, 0)$

冷酷触发策略（Grim Trigger）定义：

• 第一期选择 $C$。
• 在第 $t$ 期，若所有过去历史 $(a_1, \dots, a_{t-1})$ 全为 $(C, C)$，则继续选择 $C$；
• 只要有任何一名玩家在任何历史中选择过 $D$，永久转入 $D$（永远不予宽恕）。

临界贴现阈值 $\delta^*$ 求解

利用单阶段偏离原则：

1. 坚守合作的贴现总收益现值： $V(C) = 1 + \delta \cdot 1 + \delta^2 \cdot 1 + \dots = \frac{1}{1 - \delta}$
2. 当期背叛的最高贴现现值： 当期拿到最高偷袭收益 $2$，随后对手永久转入 $D$，未来每期只能拿 $0$： $V(D) = 2 + \delta \cdot 0 + \delta^2 \cdot 0 + \dots = 2$
3. 维系 SPNE 的充要条件： $V(C) \ge V(D) \implies \frac{1}{1 - \delta} \ge 2 \implies 1 \ge 2 - 2\delta \implies \delta \ge \frac{1}{2}$ 只要贴现因子 $\delta \ge 0.5$（即对明天的重视程度不低于今天的一半），自发合作即可作为子博弈精炼纳什均衡永久维持！

经济应用与机制分析

在建立行业自律同业公会或国际碳减排机制时，政策的核心不是派驻警察物理盯防，而是建立透明的信息通报网络与可信的违约抵制同盟，确保任何违规行为都会在未来遭遇确定性的共同抵制。

边界条件与易错点

误以为只要贴现因子够大合作就自动发生（忽视了博弈永远存在“全员背叛”这一平庸纳什均衡，合作依赖于各方的协调聚焦）。

官方资源与参考

• 本讲视频讲座
• MIT 14.12 官方课程主页
• MIT 14.12 讲义清单（Lists of Lecture Notes）