Lec 9 — 惯性感知（Inertial Sensing）

MIT 6.1820/MAS.453 · Mobile and Sensor Computing IMU、航位推算与传感器融合

1. 惯性测量单元（IMU, Inertial Measurement Unit）

1.1 组成

定义 — IMU 组成
标准 IMU 包含三类传感器：
• 加速度计（Accelerometer）：测量线加速度（含重力分量），3 轴
• 陀螺仪（Gyroscope）：测量角速度，3 轴
• 磁力计（Magnetometer）：测量地磁方向，3 轴
合计 9 自由度（9-DOF）传感。

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2. MEMS 加速度计原理

定义 — MEMS 加速度计（MEMS Accelerometer）
微机电系统（MEMS, Micro-Electro-Mechanical Systems）加速度计通过弹簧-质量块结构感知加速度，再通过电容变化转换为电信号。

2.1 力学原理

设质量块质量为 $m$，弹簧常数为 $k$，质量块在加速度 $a$ 下产生位移 $x$：

$$F=ma=kx⟹x=\frac{m\cdot a}{k}$$

位移 $x$ 改变了差分电容（Differential Capacitor）：

$$\mathrm{\Delta }C=C_0\cdot \frac{x}{d_0}$$

其中 $d_0$ 为平衡位置电容极板间距，$C_0$ 为平衡电容。

推论　MEMS 加速度计同时感知外部加速度和重力加速度（$g = 9.8$ m/s²）。静止时，三轴读数的合矢量为 $g$，可用于确定设备绝对倾斜角（Tilt）。

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3. MEMS 陀螺仪原理

定义 — 科里奥利力（Coriolis Effect）
在旋转参考系中，沿某方向运动的质点会受到垂直于运动方向的科里奥利力：$\vec{F}_c = -2m(\vec{\Omega} \times \vec{v})$，其中 $\vec{\Omega}$ 为旋转角速度，$\vec{v}$ 为质点速度。

MEMS 陀螺仪内部维持一个已知方向振动的质量块，旋转时产生的科里奥利力导致垂直方向位移，通过电容测量得到角速度 $\mathrm{\Omega }$。

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4. 自由度（Degrees of Freedom）

6 自由度（6-DOF）运动包含：

类型	轴	测量传感器
平移（Translation）	X, Y, Z	加速度计
旋转（Rotation）	偏航（Yaw）, 俯仰（Pitch）, 滚转（Roll）	陀螺仪

$$\text{姿态}=[\text{Yaw}(\psi ),\text{Pitch}(\theta ),\text{Roll}(\varphi )]$$

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5. 航位推算（Dead Reckoning）

定义 — 航位推算（Dead Reckoning）
从已知初始位置出发，通过持续积分速度（或加速度）来推算当前位置，无需外部参考信号。

5.1 积分过程

步骤 1：积分角速度 → 姿态

$$\theta (t)=\theta (0)+{\int }_0^t\mathrm{\Omega }(\tau )d\tau$$

步骤 2：用姿态将加速度坐标转换到世界坐标系（Body to World Frame）

$${\mathbf{a}}_{\text{world}}=R(\theta )\cdot {\mathbf{a}}_{\text{body}}$$

其中 $R(\theta )$ 为旋转矩阵。

步骤 3：减去重力

$${\mathbf{a}}_{\text{linear}}={\mathbf{a}}_{\text{world}}-\mathbf{g}$$

步骤 4：积分线加速度 → 速度 → 位置

$$\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}(0)+{\int }_0^t{\mathbf{a}}_{\text{linear}}dt,\mathbf{p}(t)=\mathbf{p}(0)+{\int }_0^t\mathbf{v}dt$$

5.2 漂移问题（Drift）

例题 — 积分漂移估算

设加速度计偏置（Bias）为 $b=0.01{\text{ m/s}}^2$，积分 60 秒后位置误差：

$$\mathrm{\Delta }p=\frac{1}{2}b{t}^2=\frac{1}{2}\times 0.01\times {60}^2=18\text{ m}$$

Sol：仅 1 分钟后位置误差就达到 18 m，说明纯 IMU 无法长期独立工作，需要外部修正（GPS、磁力计等）。

推论 — 偏置积分误差增长规律　速度误差 $\propto bt$，位置误差 $\propto bt^2$。这意味着 IMU 的位置误差随时间**平方增长**，是纯惯性导航无法长期使用的根本原因。

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6. 传感器融合（Sensor Fusion）

单一传感器各有缺点：

传感器	优点	缺点
IMU	高频、无延迟	长期漂移
GPS	绝对位置精度	10–30 m 误差，室内失效，低频（1 Hz）
磁力计	提供绝对方向	受金属、电磁干扰

卡尔曼滤波（Kalman Filter）是融合多传感器的经典方法：

$${\hat{x}}_{k|k}={\hat{x}}_{k|k-1}+K_k(z_k-H{\hat{x}}_{k|k-1})$$

其中 $K_k$ 为卡尔曼增益，$z_k$ 为观测值（GPS 位置），${\hat{x}}_{k|k-1}$ 为 IMU 预测状态。

互补滤波（Complementary Filter）的直觉：

$$\hat{\theta }=\alpha \cdot (\hat{\theta }+\mathrm{\Omega }\cdot dt)+(1-\alpha )\cdot {\theta }_{\text{accel}}$$

• 陀螺仪短期精度高 → 权重 $\alpha$ 高
• 加速度计长期无漂移 → 低频修正偏置

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7. 捷联惯导系统（Strapdown Navigation）

在飞机、导弹等高精度应用中，IMU 固定在载体上（Strapped Down），每秒更新数百次，配合高精度陀螺仪（光纤陀螺，FOG）可在 GPS 失效时保持数分钟厘米级精度。

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本讲总结

IMU 通过 MEMS 弹簧-电容结构测量加速度、通过科里奥利效应测量角速度；航位推算通过二次积分推算位置，但偏置引起的误差随时间平方增长；实用系统必须将 IMU 与 GPS 或其他绝对参考通过卡尔曼滤波融合，才能同时保证短期响应速度和长期定位精度。